Question

As duas raízes da equação x² - 63x + k = 0 na incógnita x são números inteiros e primos. O total de valores distintos que k pode assumir é: A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

Answer 1

$x^2-63x+k=0~~~\Rightarrow~~\left\{ \begin{array}{l}a=1\\b=-63\\c=k \end{array} \right.$


$\bullet~~$ A soma das raízes é $-\,\frac{b}{a}:$

$x_{1}+x_{2}=-\,\dfrac{-63}{1}\\\\\\ x_{1}+x_{2}=63~~~~\mathbf{(i)}$


$\bullet~~$ O produto das raízes é $\frac{c}{a}:$

$x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{k}{1}\\\\\\ x_{1}\cdot x_{2}=k~~~~\mathbf{(ii)}$

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Queremos $x_{1}$ e $x_{2}$ primos. Por $\mathbf{(i)},$ temos que a soma das raízes é ímpar.

Sendo assim, necessariamente uma das raízes deve ser par e a outra ímpar; caso contrário a soma das raízes seria um número par, o que contraria $\mathbf{(i)}.$

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Tomemos $x_{1}$ como a raiz par. Temos apenas duas possibilidades de forma que $x_{1}$ é primo:

$\bullet~~x_{1}=2:\\\\x_{2}=63-x_{1}\\\\ x_{2}=63-2\\\\ x_{2}=61~~~~~\text{(\'{e} primo)}~~\checkmark$


Portanto, temos que

$k=x_{1}\cdot x_{2}\\\\ k=2\cdot 61\\\\ \boxed{\begin{array}{c}k=122 \end{array}}$


$\bullet~~x_{1}=-2:\\\\x_{2}=63-x_{1}\\\\ x_{2}=63-(-2)\\\\ x_{2}=63+2\\\\x_{2}=65~~~~~\text{(\'{e} primo)}~~\checkmark$


Agora, temos que

$k=x_{1}\cdot x_{2}\\\\ k=(-2)\cdot 65\\\\ \boxed{\begin{array}{c} k=-130 \end{array}}$

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Resposta: alternativa $\text{C)~}2.$