Question

Encontre o limf(x) quando x->∞ se, para todo x>1,

$\frac{10e^x - 21}{2e^x}\ \textless \ f(x) \ \textless \ \frac{5 \sqrt{x} }{ \sqrt{x-1} }$

Answer 1

Vamos utilizar o teorema do confronto ou teorema do sanduiche



$\lim_{x \to \infty} \frac{10e^x-21}{2e^x} \ \textless \ F(x) \ \textless \ \lim_{x \to \infty} \frac{5 \sqrt{x} }{ \sqrt{x-1} }$

Vamos achar o limite da função da esquerda.


$\\ \lim_{x \to \infty} \frac{10e^x-21}{2e^x} \\ \\ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x(10 - \frac{21}{e^x}) }{2e^x} \\ \\ \lim_{x \to \infty} 1*\frac{(10- \frac{21}{e^x}) }{2} \\ \\ \lim_{x \to \infty} \frac{10- \frac{21}{e^\infty} }{y} \\ \\ \lim_{x \to \infty} \frac{10- \frac{21}{\infty} }{2} \\ \\ \lim_{x \to \infty} \frac{10-0}{2} \\ \\ \lim_{x \to \infty} 5 = 5$

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Vamos determinar o limite da função da direita

$\\ \lim_{x\to \infty} \frac{5 \sqrt{x} }{ \sqrt{x-1} } \\ \\ \lim_{x\to \infty} \frac{5 \sqrt{x} }{ \sqrt{x(1- \frac{1}{x}) } } \\ \\ \lim_{x\to \infty} \frac{5 \sqrt{x} } \sqrt{x(1- \frac{1}{\infty} )} } \\ \\ \lim_{x\to \infty} \frac{5 \sqrt{x} }{ \sqrt{x(1-0)} } \\ \\ \lim_{x\to \infty} \frac{5 \sqrt{x} }{ \sqrt{x} } \\ \\ \lim_{x\to \infty} \frac{5*1}{1} \\ \\ \lim_{x\to \infty} 5 = 5$

Conclusão:

Se F(x) esta compreendido entro duas funções que cujo os limites laterais tendem a 5.


$5 \ \textless \ \lim_{x \to \infty} F(x) \ \textless \ 5$

∵

$\lim_{x\to \infty} F(x) = 5$