Question

Os comprimentos de dois caibros, em decímetro, são expressos por números pares consecutivos. Um marceneiro cortou-os em pedaços de mesmo comprimento e de maior medida inteira possível, em decímetro, obtendo 67 pedaços. Supondo que não houve perda de madeira nos cortes, quais eram os comprimentos dos dois caibros?

Answer 1

Olá Lana 

caibros menor = 2x
caibros maior = 2x + 2

Cada caibro será dividido em pedaços de comprimento k

pedacos m + n = 67 

sistema

2x + 2 = m*k
2x = n*k
m + n = 67 

4x + 2 = k*(m + n) = 67k

4x = 67k - 2

x = (67k - 2)/4 

x =  67k/4 - 2/4 

solução inteira com k = 2

x = 67*2/4 - 2/4 = 132/4 = 33

os comprimentos os dois caibros

C1 = 2x  = 2*33  = 66 dm

C2 = 2x + 2 = 2*33 + 2 = 68 dm 

.

Answer 2

Os comprimentos dos dois caibros eram 66 dm e 68 dm.

Explicação:

Como os comprimentos são expressos por números pares consecutivos, podemos expressar essas medidas assim:

Comprimento do cabo menor: 2x

Comprimento do cabo maior: 2x + 2

Os cabos foram divididos em pedaços de mesmo comprimento k.

Ao todo, foram obtidos 67 pedaços.

Número de pedaços do cabo maior: m

Número de pedaços do cabo maior: n

Logo:

m + n = 67

O comprimento do cabo pode ser expresso como o produto do número de pedaços pelo comprimento de cada pedaço. Logo:

Comprimento do cabo maior: 2x + 2 = m·k

Comprimento do cabo menor: 2x = n·k

 {2x + 2 = m·k

+ {2x      = n·k    

   4x + 2 = k·(m+n)

Como (m + n) = 67, temos:

4x + 2 = k·67

4x = 67k - 2

x = 67k - 2

         4

x = 67k - 2

      4       4

O valor de k é o mdc (máximo divisor comum) dos comprimentos 2x e (2x + 2).

Note: 2x + 2 = 2·(x + 1)

x e (x + 1) são números inteiros consecutivos. Então, os números que representam os comprimentos são primos entre si. Logo, o mdc só pode ser 2.

Portanto, k = 2.

x = 67k - 2

      4       4

x = 67·2 - 2

      4       4

x = 33,5 - 0,5

x = 33

Os comprimentos são:

2x = 2·33 = 66 dm

2x + 2 = 66 + 2 = 68 dm

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