Question

Integração por frações parciais

∫$\frac{x^2+2}{x^2-3x+2}$ dx

Answer 1

Primeiro escrevemos o quociente da seguinte maneira$\frac{x^2+2}{x^2-3x+2} = \frac{x^2-3x+2+3x}{x^2-3x+2}= \frac{x^2-3x+2}{x^2-3x+2} + \frac{3x}{x^2-3x+2}=1+ \frac{3x}{x^2-3x+2}$

Agora usando frações parcias em x^2-3x+2=(x-1)(x-2) temos

$\frac{3x}{x^2-3x+2} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-1}$

multiplicando por x^2-3x+2 temos
$3x=A(x-1)+B(x-2)$

Para x=1 temos 3(1)=A(1-1)+B(1-2) então 3=-B logo B=-3

Para x=2 temos 3(2)=A(2-1)+B(2-2) então 6=A

Por tanto

$\frac{3x}{x^2-3x+2} = \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x-1}$

Assim temos que

$\frac{x^2+2}{x^2-3x+2}=1+ \frac{2}{x-2}- \frac{3}{x-1}$

Assim integrando temos

$\displaystyle\int\frac{x^2+2}{x^2-3x+2}dx=\displaystyle\int\left(1+\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-1} \right)dx\\\\=x+2\ln|x-2|-3\ln|x-1|+K$