Question

Determine quatro números em progressão aritmética sabendo que a soma destes quatro números é 8 e que a soma dos quadrados destes quatro números é 36.

Answer 1

De acordo com as regras de Progressões Aritméticas ( P A )e colocando

as condições do enunciado, em sistema de 2 equações , obteve-se duas

PA viáveis:

1ª possibilidade =   - 1 ; 1 ; 3 ; 5

2ª possibilidade =    5 ; 3 ; 1 ; - 1

Numa progressão aritmética a diferença entre um termo e o anterior

chama-se razão.

Exemplo:

6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; etc

A razão = q = 8 - 6 = 2

Primeiro termo = 6

Segundo termo = 6 + razão = 6 + 2 = 8

Terceiro termo = 8 + 2 = ( 6 + 2 ) + 2 = 6 + 2 + 2 = 6 + 2*2 = 10

Quarto termo = 10 + 2 = 8 + 2 + 2 = 6 + (2 + 2 + 2 ) =6 + 3 * 2 =  12

Nesta tarefa

Vamos dar um nome ao primeiro de quatro termos

1º termo = a

2º termo = a + q

3º termo = a + 2 * q

4º termo = a + 3 * q

Colocar num sistema a informação restante

{ a + ( a + q ) + ( a + 2q ) + ( a + 3q ) = 8

{ a² +  ( a + q )² + ( a + 2q )² + ( a + 3q )² = 36

Simplificando

{ a + a + a + a + q + 2q + 3q = 8

{ a² + (a² + 2aq +q²) + (a² + 4aq + (2q)² ) + ( a² +6aq + (3q)² ) = 36

⇔

{ 4a + 6q = 8           dividir tudo por 2

{ a² + (a² + 2aq +q²) + (a² + 4aq + 4q² ) + ( a² +6aq + 9q² ) = 36

⇔

{ 2a + 3q = 4

{ a² + a² + 2aq +q² + a² + 4aq + 4q² + a² + 6aq + 9q² = 36

⇔

{ 2a + 3q = 4        

{ 4a² + 12aq + 14q² = 36

→ resolver a primeira equação em ordem a " a "

→ substituir o valor encontrado, na segunda equação

→ dividir por 2 , todos os termos da segunda equação

⇔

{ 2a = 4 - 3q      

{ 2a² + 6aq + 7q² = 18

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$2*(\dfrac{4-3q}{2} )^2 + 6*q*(\dfrac{4-3q}{2}) + 7q^2 = 18$

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$2*\dfrac{(4-3q)^2}{2^2} + \dfrac{6q*(4-3q)}{2} + \dfrac{7q^2}{1} = 18$

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$2*\dfrac{(4-3q)^2}{4} + \dfrac{24q-18q^2}{2} + \dfrac{7q^2}{1} = \dfrac{18}{1}$

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$\dfrac{(4-3q)^2}{2} + \dfrac{24q-18q^2}{2} + \dfrac{2*7q^2}{2*1} = \dfrac{2*18}{2*1}$

Na segunda equação, no primeiro termo o 2 que estava a multiplicar, ~

simplificou com o 4 do denominador.

Para as frações com denominador 1, passarem a ter denominador 2,

multiplicamos os numeradores e os denominadores por 2.

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$\dfrac{4^2-4*2*3q+(3q)^2}{2} + \dfrac{24q-18q^2}{2} + \dfrac{14q^2}{2} = \dfrac{36}{2}$

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$\dfrac{16-24q+9q^2}{2} + \dfrac{24q-18q^2}{2} + \dfrac{14q^2}{2} = \dfrac{36}{2}$

Costumamos dizer, que sendo iguais os denominadores, podemos os

retirar.

Aparentemente é o que acontece.

Na realidade usamos uma propriedade das equações do 1º grau, que diz

" Pode-se multiplicar (ou dividir) todos os termos por um valor, diferente

de zero, que a equação obtida é equivalente à anterior "

Neste caso multiplicam-se por 2, que vai cancelar com o denominador.

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$2*\dfrac{16-24q+9q^2}{2} +2* \dfrac{24q-18q^2}{2} + 2*\dfrac{14q^2}{2} =2* \dfrac{36}{2}$

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$16-24q+9q^2 +24q-18q^2 + 14q^2 =36$

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$(9 + 14 - 18 )*q^2=36-16$

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$5q^2=20$

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$q^2=\dfrac{20}{5}$

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$q^2=4$     ⇔   $q = +\sqrt{4}$    ou   $q = -\sqrt{4}$

⇔

$a = \dfrac{4-3q}{2}$

$q=2...ou...q=-2$

Se q = 2

$a = \dfrac{4-3*2}{2}=\dfrac{4-6}{2}=-\dfrac{2}{2} =-1$

Se q = - 2

$a = \dfrac{4-3*(-2)}{2}=\dfrac{4+6}{2}=\dfrac{10}{2} =5$

Assim vamos ter duas possibilidades para encontrar os quatro termos

1ª Possibilidade, para  a = - 1  e q = 2

1º termo = - 1

2º termo = - 1 + 2  = 1

3º termo = - 1 + 2 * 2 = 3

4º termo = - 1  + 3 * 2 = 5

Ficaria então :   - 1 ; 1 ; 3 ; 5

Verificação desta

- 1 + 1 + 3 + 5 = 8

8 = 8             verificada e correta, para a soma

( - 1)² + 1² + 3² + 5² = 36

1 + 1 + 9 + 25 = 36

36 = 36         verificada e correta, para a soma dos quadrados

2ª Possibilidade, para  a = 5  e q = - 2

1º termo = 5

2º termo = 5 - 2  = 3

3º termo = 5 + 2 * ( - 2 ) = 1

4º termo = 5 + 3 * ( - 2 ) = - 1

Ficaria então : 5 ; 3 ; 1 ; - 1

Verificação desta

5 + 3 + 1 - 1 = 8

8 = 8               verificada e correta, para a soma

5² + 3² + 1² + (  - 1 )² = 36

25 + 9 + 1 + 1 = 36

36 = 36            verificada e correta, para a soma dos quadrados

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Observação 1 → Quadrado de uma soma

É um Produto Notável e o desenvolvimento é:

quadrado do 1º termo

mais

o dobro do produto do 1º pelo 2º termo

mais

o quadrado do 2º termo

Exemplo:

( a + q )² = a² + 2 * a * q + q² =  a² + 2aq + q²

Observação 2 → Quadrado de uma diferença

É um Produto Notável e o desenvolvimento é:

quadrado do 1º termo

menos

o dobro do produto do 1º pelo 2º termo

mais

o quadrado do 2º termo

Exemplo:

( 4 - 3q )² = 4² - 2 * 4 * 3q + (3q)² = 16 - 24q + 9q²

Observação 3 → Potência de uma fração

Elevam-se o numerador e o denominador ao expoente da potência.

Exemplo:

$(\dfrac{4-3q}{2} )^2=\dfrac{(4-3q)^2}{2^2}$

Observação 4 → Quadrado de um produto

É igual ao produto dos quadrados.

Exemplo:

( 3q )² = 3² * q²

Bons estudos.

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( * ) multiplicação    

( q ) razão de uma progressão aritmética ou geométrica

"O que eu sei, ensino."