Question

Calculo do ponto critico da f(x)= x³+2x²-x-2

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirmar que os pontos critico são  x =  0,22 ou  x = -1,55.

Se $\boldsymbol{ \displaystyle \sf f(x) }$ é uma função, continua em $\boldsymbol{ \displaystyle \sf [a, b] }$ e diferenciável em $\boldsymbol{ \displaystyle \sf (\: a, b\:) }$, um ponto $\boldsymbol{ \displaystyle \sf x_0 }$, em seu domínio, no qual $\boldsymbol{ \displaystyle \sf f'(x_0) = 0 }$ ou $\boldsymbol{ \displaystyle \sf f'(x_0) \:\:\nexists }$ é denominada de ponto critico da função  $\boldsymbol{ \displaystyle \sf f(x) }$.

Derivada para resolução:

A derivada de uma constante:

$\Large \displaystyle \mathsf{ f(x ) = k \Rightarrow f'(x) = 0 }$

A derivada de um polinômio:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f(x ) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n- 1} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f(x ) = x^3 +2x^{2} -x - 2 } }$

Para que possamos encontrar o ponto critico, devemos fazer a primeira derivada da função.

Derivando, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f'(x ) =3x^{2} +4x -1 } }$

Pontos críticos é onde a derivada se anula.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf y' = f'(x) = 0 \\ \\ \sf x_1 ~e ~x_2 =\:? \end{cases} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f'(x ) =3x^{2} +4x -1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 3x^{2} +4x -1 = 0} }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = 4^2 -\:4 \cdot 3 \cdot (-1) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = 16+12 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \displaystyle \sf \Delta = 28 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\:4 \pm \sqrt{28 } }{2\cdot 3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\:4 \pm \sqrt{4 \cdot 7 } }{6} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\:4 \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} }{6} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\:4 \pm 2 \cdot \sqrt{7} }{6} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{\diagup\!\!\!{ 2}\:^1(-\:2 \pm 1)\cdot \sqrt{7} }{\diagup\!\!\!{ 6}\: ^3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{-\:2 \pm \sqrt{7} }{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_1 = \dfrac{-\:2+ \sqrt{7} }{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x_1 = 0{,}22 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x_2 = \dfrac{-\:2- \sqrt{7} }{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x_2 = -1{,}55 }$

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Answer 2

Resposta:

f(x)= x³+2x²-x-2

f'(x)=3x²+4x-1

3x²+4x-1=0

x'=[-4+√(16+12)]/6=(-4+√28)/6=(-4+2√7)/6=(-2+√7)/3

x''=[-4-√(16+12)]/6=(-4-√28)/6=(-4-2√7)/6=(-2-√7)/3

f''(x)=6x+4

f''((-2+√7)/3)=6*(-2+√7)/3+4 >0 ==>x=(-2+√7)/3 ponto de mínimo

x ~ 0,2152

y= ((-2+√7)/3 )³+2*((-2+√7)/3 )²-(-2+√7)/3 -2

y=-20/27-14√7/27  ~  -2,113

Ponto (0,2152 ; -2,113)

f''((-2-√7)/3)=6*(-2-√7)/3+4 < 0 ==>x=(-2-√7)/3 ponto de mínimo

x ~ -1,55

y= ((-2-√7)/3 )³+2*((-2-√7)/3 )²-(-2-√7)/3 -2

y=14√7/27-20/27  ~ 0,631

Ponto(-1,55 ;  0,631)

Vamos verificar se existe o ponto de inflexão que é também um ponto crítico

f''(x)=6x+4

6x+4=0 ==>x=-4/6=-2/3

f'''(x)=6   como é  ≠ 0   é um ponto de inflexão

x=-2/3

y=(-2/3)³+2*(-2/3)²-(-2/3)-2=-20/27

Ponto (-2/3 ; -20,27)

Ponto mínimo relativo (0,2152 ; -2,113)

Ponto máximo relativo (-1,55 ;  0,631)

Ponto de inflexão  (-2/3 ; -20,27)