Question

Diante dos produtos que podem ser realizados entre vetores, utilize os mesmos e determine um vetor que seja ortogonal aos vetores u e v ao mesmo tempo. Sendo u e v:
u = (1, -1,4) e v= (3,2, -2).

Answer 1

O vetor que é ortogonal aos vetores u e v ao mesmo tempo é u×v = (-6, 14, 5).

Produto vetorial

A definição do produto vetorial pode ser dada através do determinante da matriz abaixo:

$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{array}\right|$

A direção do vetor resultante pode facilmente ser encontrada pela regra da mão direita onde o dedo indicador é o vetor i, o dedo médio é o vetor j e o polegar é o vetor k.

O produto vetorial entre u e v resultará em um vetor ortogonal a ambos, logo:

$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\1&-1&4\\3&2&-2\end{array}\right|$

Teremos então:

u×v = (-1)·(-2)·i + 4·3·j + 1·2·k - 3·(-1)·k - 2·4·i - (-2)·1·j

u×v = 2i + 12j + 2k + 3k - 8i + 2j

u×v = -6i + 14j + 5k = (-6, 14, 5)

Para verificar a ortogonalidade, vamos calcular o produto escalar entre u×v e os outros vetores. Se o resultado for zero, os vetores são ortogonais:

u×v · u = (-6, 14, 5)·(1, -1, 4)

u×v · u = -6 - 14 + 20

u×v · u = 0

u×v · v = (-6, 14, 5)·(3, 2, -2)

u×v · v = -18 + 28 - 10

u×v · v = 0

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