Seja y(x) uma função real derivável satisfazendo a seguinte equação y(x)3 + x(y(x)2 + y(x)) − 1 = 0. Com respeito à derivada de y(x) no ponto = 0, é correto afirmar que:
Respostas
Resposta:
y³+x*(y²+y)-1=0 para x=0 ==>y³-1=0 ==>y³=1 ==>y=1
y³+xy²+xy-1=0
derivando em função de x
(y³)'+(xy²)' +(xy)'=0
3y²*y'+[(x)'*y²+x*(y²)'] +((x)'*y+x*(y)')=0
3y²*y' +(y²+2yx*y' )+(y+x*y')=0
Sabemos que x=0 e y=1
3*y' +1+0 +1+0=0
y'=-2/3
letra E
Em relação a derivada de y(x) no ponto x = 0, podemos afirmar que y' = -2/3, alternativa E.
Derivada de uma função
A derivada de uma função pode ser relacionada à inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um determinado ponto.
Derivada do produto de duas funções
Sejam f(x) e g(x) duas funções cujas derivadas existam, temos que, a função f(x)*g(x) é derivável e a sua derivada é dada por:
(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
Regra da cadeia
Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis, temos que, a função composta f(g(x)) é derivável e:
[f(g(x))]' = f'(g(x))*g'(x)
Utilizando a regra da cadeia e a regra do produto para calcular a derivada da expressão dada, podemos escrever:
[y(x)^3 + x (y(x)^2 + y(x)) - 1]' = 0
3 y(x)^2 y'(x) + (y(x)^2 + y(x)) + x * (2 f(x)* y'(x) + y'(x)) = 0
Substituindo x = 0 e y = 1, temos:
3 y' + (1 + 1) + 0 = 0
y' = -2/3.
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