Question

Use o Teorema de Green para resolver

Answer 1

Olá coneto para resolver esse problema do teorema de Green vamos ver qual relação esse teorema nos dá:

O teorema de Green dá a relação entre uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região plana D limitada por C.

• O problema nos pede para calcular a integral de linha:

$\displaystyle \sf \large \oint _C y^2 dx+x^2 ydy$

Em um plano retangular com os seguintes vértices: (0.0), (5.0) ,(5.4) e (0.4).

Para resolver a integral de linha devemos passar para uma integral dupla (plana) para isso devemos usar a seguinte fórmula ou relação que vem no teorema de Green:

$\displaystyle \sf \large \oint _C Mdx+ Ndy=\iint \left[\dfrac{\partial M}{\partial x} -\dfrac{\partial N}{\partial y}\right] dxdy$

Isso quer dizer que devemos derivar parcialmente cada diferencial, se derivarmos ambos os diferenciais obtemos:

$\displaystyle \sf \dfrac{\partial M}{\partial x} y^2 = 0$

$\displaystyle \sf \dfrac{\partial N}{\partial y} x^2 y = x^2$

Agora que encontramos cada diferencial, agora é a hora de substituir isso na fórmula do teorema de Green:

$\displaystyle \sf \large\oint _C y^2 dx+x^2 ydy= \iint \left[0-x^2\right] dxdy$

$\displaystyle \sf \large\oint _C y^2 dx+x^2 ydy= \iint \left[-x^2\right] dxdy$

Para calcular a integral de linha com esta integral dupla que acabamos de fazer, devemos encontrar cada limite de integração, tanto de "x" quanto de "y", para isso devemos representar graficamente cada vértice que o problema nos dá (imagem anexada do gráfico).

Se você olhar de perto, o vértice de "x" coincide principalmente de 0 a 5 e os de "y" coincidem de 0 a 4. Então os limites de integração são:

$\displaystyle \sf 0\leqslant x\leqslant 5$

$\displaystyle \sf 0\leqslant y\leqslant 4$

Esses limites de integração devem ser substituídos em cada parte de cada integral para obter uma integral dupla indefinida.

$\displaystyle \sf \large\oint _C y^2 dx+x^2 ydy=\int^4 _0\int ^5 _0\left[-x^2\right] dxdy$

Se quisermos resolver esta integral dupla, basta aplicar o teorema de Fubini, este consiste apenas em integral por partes cada integral definida.

$\displaystyle \sf \large\oint_C y^2 dx+x^2 ydy= \int^4 _0\left[\int ^5 _0-x^2 dx\right] dy$

$\displaystyle \sf \large\oint_C y^2 dx+x^2 ydy= \int^4 _0\left[\int ^5 _0 -\dfrac{x^{2+1}}{2+1}dx\right] dy$

$\displaystyle \sf \large\oint _C y^2 dx+x^2 ydy=\int^4 _0\left[\int ^5 _0 -\dfrac{x^{3}}{3}dx\right] dy$

• Já fizemos a integração agora basta encontrar os valores de "x" ao tirar esses limites de integração:

$\displaystyle \sf \large \oint_C y^2 dx+x^2 ydy= \int^4 _0\left[\left(-\dfrac{x^{3}}{3}\right)^5 _0\right] dy$

$\displaystyle \sf \large \oint _C y^2 dx+x^2 ydy=\int^4 _0\left[-\dfrac{5^{3}}{3}+\cancel{\dfrac{0^3}{0}}^0\right] dy$

$\displaystyle \sf \large\oint _C y^2 dx+x^2 ydy =\int^4 _0\left[-\dfrac{125}{3}\right] dy$

Resolvemos apenas a integral para "x" e agora temos apenas uma integral para "y" sozinha.

$\displaystyle \sf \large \oint _C y^2 dx+x^2 ydy=\int^4 _0-\dfrac{125}{3}dy$

• Como só temos a diferencial de "y" confirma-se que a integral de "y" é "y":

$\displaystyle \sf \large\oint _C y^2 dx+x^2 ydy= \int^4 _0-\dfrac{125}{3}y$

Agora resolvemos os limites de integração de "y" e obtemos o seguinte resultado:

$\displaystyle \sf \large \oint_C y^2 dx+x^2 ydy=\left[-\dfrac{125}{3}y\right]^4 _0$

$\displaystyle \sf \large\oint _C y^2 dx+x^2 ydy= \left[-\dfrac{125}{3}\cdot 4+ \cancel{\dfrac{125}{3}\cdot 0}^0\right]$

$\displaystyle \sf \large\oint _C y^2 dx+x^2 ydy= -\dfrac{125}{3}\cdot 4$

$\boxed{\boxed{\displaystyle \sf \large \oint _C y^2dx +x^2 y dy=-\dfrac{500}{3}}}$

• Esse seria o resultado de nossa integral de linha.

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