Question

se as raízes da equação 2x² -5x -4 =0 são m e n calcule (m+n)² -4

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o quadrado da soma das raízes, subtraído de quatro unidades é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf (m + n)^{2} - 4 = \frac{9}{4}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação do segundo grau:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x^{2} - 5x - 4 = 0\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                    $\Large\begin{cases} a = 2\\b = -5\\c = -4\end{cases}$

Se a s raízes são:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} m\:e\:n\end{gathered}$

Então:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} (m + n)^{2} - 4 = \,?\end{gathered}$

Sabendo - pelas relações de Girard -  que a soma "S" das raízes da equação do segundo grau pode ser calculada como:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = -\frac{b}{a}\end{gathered}$

Então:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = m + n = -\frac{b}{a}\end{gathered}$

Então, temos:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left(-\frac{b}{a}\right)^{2} - 4 = \left(-\frac{(-5)}{2}\right)^{2} - 4\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}- 4\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{5^{2}}{2^{2}}- 4\end{gathered} }$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{25}{4} - 4\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{25 - 16}{4}\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{9}{4}\end{gathered}$

✅ Portanto, o quadrado da soma das raízes subtraído de 4 unidades é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} (m + n)^{2} - 4 = \frac{9}{4}\end{gathered}$

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