Question

A área definida pela equação ρ = c o s 3 θ , para o intervalo 0 < θ < κ , com κ > 0, vale π 16 . Qual é o valor de κ ?

Answer 1

O valor de k para a área definida pela curva seja $\frac{\pi}{16}$, é aproximadamente 1,559.

Como se achar a área definida pela curva?

A expressão da área definida pela curva pode ser determinada mediante a integral dupla em coordenadas polares. O desenvolvimento em função das variáveis $\rho$ (distância do ponto à origem de coordenadas) e $\theta$ (ângulo do raio-vector em relação ao eixo positivo horizontal) será feito como mostrado a seguir:

$A=\int\limits^{k}_{0} \int\limits^{cos^3(\theta)}_{0} {} \, \rho d\theta d\rho \\\\A=\int\limits^{k}_{0} {\frac{cos^2(3\theta)}{2}} \, d\theta$

Fazendo troca de variáveis (método da substituição) é possível resolver a integral:

$u=3\theta= > du=3d\theta\\\\A=\frac{1}{6}\int\limits^k_0 {cos^2(u)} \, du=\frac{1}{12}[u+ \frac{sen(2u)}{2}]^k_0\\\\A=\frac{1}{12}[3\theta+\frac{sen(6\theta)}{2}]^k_0$

Essa expressão é transcendente, portanto, não se pode limpar a variável $\theta$, deve-se aplicar aproximações sucessivas.

$\frac{12}{16}\pi=3k-\frac{sen(6k)}{2}\\\\k\simeq 1,559$

Mais exemplos de coordenadas polares em https://brainly.com.br/tarefa/23508919

#SPJ1