Question

Problema 2 Uma empresa que fabrica e vende leite condensado enlatado deseja fazer uma
nova embalagem. Eles querem fazer uma lata metálica no formato cilíndrico. Para produzir
cada lata eles desejam gastar o valor fixo de 288 cm² de aço. Quais devem ser as dimensões da
lata cilíndrica (raio e altura) para que, nessa condição, a quantidade de leite condensado em
cada lata seja máxima?

Answer 1

Olá Lorena, para resolver este problema de otimização, devemos primeiro saber o que é otimização:

• A otimização é a seleção do melhor elemento de um conjunto de elementos disponíveis.

Problema:

Uma empresa que fabrica e vende leite condensado enlatado deseja fazer uma nova embalagem. Eles querem fazer uma lata metálica no formato cilíndrico. Para produzir cada lata eles desejam gastar o valor fixo de 288 cm² de aço. Quais devem ser as dimensões da lata cilíndrica (raio e altura) para que, nessa condição, a quantidade de leite condensado em cada lata seja máxima?

Resolução:

Se quisermos encontrar o raio e a altura do cilindro para que o volume seja máximo, devemos encontrar a função de uma dessas variáveis em relação ao volume.

.

Mas antes de encontrar a função de qualquer uma dessas variáveis devemos encontrar a equação que descreve a área total do cilindro (valor fixo) para isso devemos usar a fórmula:

$\large \sf A_T = A_L + A_B$

Isso significa que a área total é igual à área lateral mais a área da base. Se quisermos encontrar a equação que descreve cada variável, devemos analisar um pouco o problema.

O problema nunca menciona se o cilindro tem tampa ou não, pois não diz isso, digamos que na realidade tem tampa, se desmontarmos o cilindro em figuras geométricas 2D obteremos um retângulo de área igual:

$\large \sf A_L = 2\pi rh$

Agora a área da base é igual à área da pálpebra superior e a área da pálpebra inferior, as pálpebras estão em forma de círculos, então a área da base é igual à fórmula:

$\large \sf A_B = 2\pi r^2$

• Então a área total é igual à equação:

$\large \sf A_T = 2\pi rh+ 2\pi r^2$

• Sabendo que a área total é igual a 288 cm² então altura é igual à equação:

$\large \sf 288\ cm^2= 2\pi rh+ 2\pi r^2$

$\large \sf 288-2\pi r^2= 2\pi rh$

$\large \sf \dfrac{288-2\pi r^2}{2\pi r}= h$

$\large \sf \dfrac{288}{2\pi r} -\dfrac{2\pi r^2}{2\pi r} = h$

$\large \sf \dfrac{144}{\pi r} -r = h$

Essa expressão de altura deve ser substituída na equação para o volume de um cilindro, o volume de um cilindro é igual a:

$\large \sf V =\pi r^2 h$

• Substituímos a altura para nossa equação:

$\large \sf V =\pi r^2 \left(\dfrac{144}{\pi r}-r\right)$

• Vemos que nossa expressão poderia ser reduzida:

$\large \sf V =\cancel{\pi r^2 }\left(\dfrac{144}{\cancel{\pi r}}-r\right)$

$\large \sf V =144 \ r- \pi r^3$

Esta equação é uma função primordial que depende do valor da radio. Se quisermos encontrar o valor do raio, devemos usar a derivada completamente.

$\large \sf V(r) =144 \ r- \pi r^3$

Se derivarmos a função pela primeira vez, obtemos a função:

$\large \sf V'(r) =144 \ r^{1-1}- 3\pi r^{3-1}$

$\large \sf V'(r) =144 \ r^{0}- 3\pi r^{2}$

$\large \sf V'(r) =144 - 3\pi r^{2}$

Agora, para encontrar o valor do raio com a segunda derivada de nossa função, devemos escrever essa derivada como uma equação que é igual a 0. Se fizermos isso, obteremos a equação:

$\large \sf 144 - 3\pi r^{2}=0$

Resolvendo a equação passo a passo obtemos o valor do raio:

$\large \sf - 3\pi r^{2}=-144$

$\large \sf r^{2}=\dfrac{-144}{-3\pi}$

$\large \sf r^{2}=\dfrac{48}{\pi}$

$\large \sf r=\sqrt{\dfrac{48}{\pi} }$

$\large \sf r\approx \pm 3.90 \ cm\approx \pm 4\ cm$

Se este valor do raio pertence à medida máxima, devemos derivar a função uma segunda vez e se obtivermos um resultado negativo, o valor é máximo e se for positivo, o valor é mínimo:

$\large \sf V''(r) =- 6\pi r^{2-1}$

$\large \sf V''(r)= - 6\pi r$

• Substituímos o valor do raio nesta função e obtemos:

$\large \sf \begin{cases}\sf \large V''(4)= - 6\pi \cdot 4\ cm\approx -75.39 \ max \\ \sf \large V''(-4)= -6\pi \cdot- 4 \ cm \approx 75.39\ min \end{cases}$

O valor positivo do raio seria a medida máxima e se quisermos encontrar o valor da altura máxima só substituímos na expressão da altura:

$\large \sf \dfrac{144}{\pi \cdot 4 \ cm} -4\ cm = h$

$\large \sf 11.45\ cm-4\ cm = h$

$\large \sf 7.45\ cm= h$

As medidas são iguais a 7,45 cm e 4 cm.

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