Question

As letras X, Y e Z representam três algarismos diferentes. Somando os algarimos do número XYY, obtemos o número XZ, de apenas dois algarismos. Somando os algarismos de XZ, obtemos o número Y, de um só algarismo. Qual é o número XYZ?

(Esclarecimento: XYY é a representação da escrita de um número como 233, 488, 700 ou 577, nos quais são iguais os algarismos das unidades e das dezenas.)
A resposta é:
X=1
Y=8
Z=7
XYZ=187
Eu quero a explicação do porquê da esse resultado.

Answer 1

• X, Y e Z são três algarismos diferentes. isso quer dizer que o valor de cada um deles se encontra entre 0 e 9;

• agora nós temos um número imaginário: XYY, e se somarmos os algarismos deste (X + Y + Y), teremos o valor de XZ;

• e se somarmos os algarismos de XZ (X + Z), teremos o valor de Y;

Z + X = Y

• ou seja, x + z é obrigatoriamente menor que 10;

• além disso, também podemos concluir que y é o maior algarismo dentre os três;

X + 2 Y = XZ

• na "pior" das possibilidades (ignorando o z, é um teste), temos que x = 8 e y = 9; ou seja, o maior dos resultados possível é 26;
• o outro pior seria y = 3 e x = 1; assim: 7

• agora nós vemos que x deve ter o valor entre 0 e 2;
• surpresa! x não pode ser = 0 pois daí teríamos y = z (ou seja, x entre 1 e 2);
• voltamos para X + Z = Y; sendo x entre 1 e 2 e y entre 9 e 3, descobrimos que Z está entre 2 e 8;

X + 2 (Z + X) = XZ

X + 2X + 2Z = XZ

3X + 2Z = XZ

• se x = 1, 2Z + 3 precisa ser menor que 20; ou seja, Z = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
• surpresa! :D Z, na verdade, não pode ser nem 2 nem 3 porque daí XZ o X teria que ser zero; assim

• se x = 2, 2Z + 6 precisa ser maior que 20;
• considerando x = 2, aqui o conjunto do z será Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
• adivinha? surpresa! tudo isso daqui nunca funcionará! olha ali, o maior valor é sete, assim: 7 × 2 + 6 = 20 (na trave! mas lembra que nenhum algarismo pode ser igual a zero? pois então, XZ não pode ser igual a vinte :()
• então (rufem os tambores), x = 1!

• x = 1, z = {4; 5; 6; 7; 8}, y = {5; 6; 7; 8; 9} (até agora, sabemos isso! :P)

X + 2 Y = XZ  →  1 + 2Y = XZ  →  2Y = XZ - 1 (como qualquer número multiplicado por um número par é par também, e para alcançar esse número par, temos que tirar um de XZ, é possível concluir que Z deve ser ímpar! então como X é ímpar e Z também, e X + Z = Y, Y tem que ser par! voltamos para os conjuntos acima e concluímos que)

• x = 1, z = {5; 7}, y = {6; 8}
• corta os pares de z e os ímpares de y;

3X + 2Z = XZ

• cinco vezes par: termina em zero; então se Z fosse cinco, o último algarismo ali teria que ser X e não Z;

ENFIM, CONCLUIMOS QUE x = 1, z = 7, y = 8