Question

Determinar os vértices de A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses dadas.

$1) \frac{x^2}{25}+ \frac{y^2}{4}=1$

$2)25x^2+4y^2=100$

$3)9x^2+16y^2-144=0$

$4)9x^2+5y^2-45=0$

$5)x^2+25y^2=25$

Answer 1

1)

$\\ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} =1 \\ \\ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$

Temos uma elipse horizontal.

onde:

a = 5

b = 2

Centro da elipse = (0,0)

-------------------

A1 = (-a,0) → ( -5,0)

A2 = (a,0) →  ( 5,0)

excentricidade = c/a

Vamos determinar "c" por pitágoras.

b² +c²= a²

2²+c²=5²

c²=25-4

c = √21

--------------

e = √21÷5

e ≈ 0,916

----------------------------------

2)

$25x^2+4y^2=100$

divide tudo por 100:

$\\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1 \\ \\ \frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{5^2} =1$

Temos uma elipse verticar. de centro (0,0)

a = 5

b = 2

-------------

A1 = (0, -a) → (0, -5)

A2 = (0, a) → (0, 5)

e = c/a

c² +b²=a²

c² = a²-b²

c² = 25-4

c = √21

e = √21/5

e ≈ 0,916

--------------------------------

3)





$\\ 9x^2+16y^2-144=0 \\ \\ 9x^2+16y^2 = 144$

divido os dois lados por 144:

$\\ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \\ \\ \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{3^2} =1$

Temos uma elipse horizontal.

Centro (0,0)

a = 4

b = 3

A1 = (-a,0)  → (-4,0)

A2 = (a,0) → (4,0)

-------------

e = c/a


a² = c²+b² 

16 = c² + 9

c² = 16-9

c = √7


e = √7/4

e ≈ 0,661

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4)


$\\ 9x^2+5y^2-45=0 \\ \\ 9x^2+5y^2=45$

Dividindo tudo por 45:

$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{9} = 1$



Temos uma elipse vertical:

Centro (0,0)

a = 3

b = √5


A1 = (0, -a) → (0, -3)

A2 = (0, a) → (0, 3)


e = c/a

b²+c² = a²

(√5)² + c² = 3²

5+c²=9

c² = 9-5

c = √4

c=2

e = c/a

e = 2/3

e ≈ 0,6666

---------------------

5)

$x^2+25y^2=25$

Divide tudo por 25:



$\\ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{1} =1 \\ \\ \frac{x^2}{5^1} + \frac{y^2}{1^2} =1$

temos uma elipse horizontal:

Centro (0,0)

a = 5

b = 1

A1 = (-a,0) → (-5,0)

A2 = (a,0) → (5,0)

e = c/a

c²+b²=a²

c²+1²= 5²

c² = 24

c = √24



e = c/a

e = √24/5

e ≈ 0,979