Question

ALGUÉM PODE ME AJUDAR NESSA QUESTÃO? (DE ÁLGEBRA LINEAR )
Determine o polinômio característico, os autovalores e deixe explícito uma base de autovetores para a matriz:
(4 -3 1 1)
A= (2 -1 1 1)
(0 0 4 1)
(0 0 2 1)
Obs: É uma matriz 4x4, tem uma foto anexada!!

Answer 1

O polinômio característico é dado por:

$P(\lambda)=det(A-\lambda.I)$

$p(\lambda)=det(\left[\begin{array}{cccc}4&-3&1&1\\2&-1&1&1\\0&0&-4&3\\0&0&2&1\end{array}\right]-\lambda*\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right])\\\\\\p(\lambda)=det(\left[\begin{array}{cccc}4-\lambda&-3&1&1\\2&(-1-\lambda)&1&1\\0&0&(-4-\lambda)&3\\0&0&2&(1-\lambda)\end{array}\right]$

Resolvendo esse determinante pela Teorema de Laplace (escolhida a coluna 1):

$det(\left[\begin{array}{cccc}4-\lambda&-3&1&1\\2&(-1-\lambda)&1&1\\0&0&(-4-\lambda)&3\\0&0&2&(1-\lambda)\end{array}\right]=(4-\lambda).C_{11}+2\lambd.C_{21}$

$(4-\lambda).(-1)^{2}.det(\left[\begin{array}{ccc}(-1-\lambda)&1&1\\0&(-4-\lambda)&3\\0&2&(1-\lambda)\end{array}\right])+2$$(-1)^{3}.det(\left[\begin{array}{ccc}-3&1&1\\0&(-4-\lambda)&3\\0&2&(1-\lambda)\end{array}\right] )$

$(4-\lambda).det(\left[\begin{array}{ccc}(-1-\lambda)&1&1\\0&(-4-\lambda)&3\\0&2&(1-\lambda)\end{array}\right])-2.det(\left[\begin{array}{ccc}-3&1&1\\0&(-4-\lambda)&3\\0&2&(1-\lambda)\end{array}\right] )$

Resolvendo os determinantes acima com a regra de Sarrus:

$p(\lambda)=(4-\lambda)(-\lambda^3-4\lambda^2+7\lambda+10)-2(-3\lambda^2-9\lambda+30)\\\\p(\lambda)=-4\lambda^3-16\lambda^2+28\lambda+40+\lambda^4+4\lambda^3-7\lambda^2-10\lambda+6\lambda^2+18\lambda-60\\\\p(\lambda)=\lambda^4-17\lambda^2+36\lambda-20$

Os auto valores são as soluções do polinômio característico.

• Testando valores, percebemos que 1 e 2 são raízes do polinômio característico. :

• $p(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda^2+3\lambda-10)$
• As demais raízes são facilmente encontradas utilizando a fórmula resolutiva do segundo grau ou outro método que preferir.

Os auto valores são:  $\lambda=1, 2, -5$ (2 possui multiplicidade dupla)

Agora podemos calcular todos os autovalores: $A[v]=\lambda[v]$

Exemplificando para o autovalor 2:

$\left[\begin{array}{cccc}4&-3&1&1\\2&-1&1&1\\0&0&-4&3\\0&0&2&1\end{array}\right].\left[\begin{array}{cccc}x\\y\\z\\w\end{array}\right]=2.\left[\begin{array}{cccc}x\\y\\z\\w\end{array}\right]\\\\\\\\4x-3y+z+w=2x\Rightarrow2x-3y+z+w=0\\\\2x-y+z+w=2y\Rightarrow2x-3y+z+w=0\\\\-4z+3w=2z\Rightarrow-6z+3w=0\\\\2z+w=2w\Rightarrow2z-w=0$

Perceba que temos duas linhas que ou são repetidas ou são múltiplas de outra. Nosso sistema fica:

$2x-3y+z+w=0\\\\2z-w=0\\\\\\x=\frac{3y-z-w}{2}\\\\z=\frac{w}{2}\\\\\\x=\frac{3y-\frac{w}{2}-w}{2}=\frac{3y}{2}-\frac{3w}{4}\\\\z=\frac{w}{2}$

Portanto

$\vec{v}=(x,y,z,w) = (\frac{3y}{2}-\frac{3w}{4},\ y,\ \frac{w}{2},\ w )=y(\frac{3}{2},\ 1,\ 0,\ 0)+w(-\frac{3}{4},\ 0,\ \frac{1}{2},\ 1)$

Resolvendo para os lambdas 1 e -5, você chegará aos outros autovetores. São eles:

$\lambda=1\ \Rightarrow\ (1,\ 1,\ 0,\ 0) \\\\\lambda=2\ \Rightarrow\ (3,\ 2,\ 0,\ 0),\ e\ (-3,\ 0,\ 2,\ 4)\\\\\lambda=-5\ \Rightarrow\ (1,\ 1,\ -9,\ 3)$

Teste de independência linear:

$\left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\3&2&0&0\\-3&0&2&4\\1&1&-9&3\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\0&-1&0&0\\0&3&2&4\\0&0&-9&3\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&2\\0&0&1&\frac{-1}{3}\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]$

São linearmente independentes, portanto formam uma base.