Question

O conjunto solução da inequação ||x-4|+1|< 2 é um intervalo do tipo [a, b]. O valor de a + b é igual a: a) -8 b) -2 c) 0 d) 2 e) 8

Answer 1

Resposta:  e) 8.

Explicação passo a passo:

Primeiramente, vamos resolver a inequação modular:

    $\big||x-4|+1\big| < 2$

O módulo é menor que 2 para todos os números reais cuja distância até o zero é menor que 2. Isto se dá para todos os números entre − 2 e 2, exclusive:

    $\Longleftrightarrow\quad -2 < |x-4|+1 < 2$

Subtraia 1 de todos os membros:

    $\Longleftrightarrow\quad -2-1 < |x-4|+\!\diagup\!\!\!\! 1-\!\diagup\!\!\!\! 1 < 2-1\\\\\Longleftrightarrow\quad -3 < |x-4| < 1$

Resolver a dupla desigualdade acima é equivalente a resolver o seguinte sistema:

    $\left\{\begin{array}{lc}-\,3 < |x-4|&\quad \mathrm{(i)}\\\\ |x-4| < 1&\quad \mathrm{(ii)}\end{array}\right.$

A inequação (i) é sempre verdadeira para qualquer valor de x, pois o módulo de um número real é no mínimo igual a zero, e zero é maior que − 3. Logo, pela transitividade da relação <, segue que

    $\Longrightarrow\quad -\,3 < 0\le |x-4|\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\in\mathbb{R}\qquad \mathrm{(iii)}$

Para resolver (ii), usamos o mesmo raciocínio do início desta resolução. O módulo é menor que 1 para todos os números cuja distância até o zero é menor que 1. Isto se dá para todos os números entre − 1 e 1, exclusive. Logo,

    $\Longrightarrow\quad |x-4| < 1\\\\\Longleftrightarrow\quad -1 < x-4 < 1$

Some 4 a todos os membros:

    $\Longleftrightarrow\quad -1+4 < x-\!\diagup\!\!\!\! 4+\!\diagup\!\!\!\! 4 < 1+4\\\\\Longleftrightarrow\quad 3 < x < 5\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\in\;]3,\,5[\qquad \mathrm{(iv)}$

A solução para o sistema das inequações (i) e (ii) é a interseção entre os intervalos (iii) e (iv):

    $S=\mathbb{R}\;\cap\;]3,\,5[\;=\;]3,\,5[.$

Os extremos do intervalo solução são a = 3 e b = 5. Logo, a resposta correta é 3 + 5 = 8.

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Bons estudos!