Question

Para que valor de k os pontos A (1,2) .B(0,1) e C (2,k seriam colineares?

Answer 1

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k", de modo que os três referidos pontos sejam colineares é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k = 3\:\:\:}}\end{gathered} }$

 

Sejam os pontos:

             $\Large\begin{cases} A(1, 2)\\B(0, 1)\\C(2, k)\end{cases}$

Para que estes três pontos sejam colineares eles devem pertencer, simultaneamente, a uma mesma reta e isto só irá acontecer quando o determinante da matriz "M" formada pelos pontos for igual a "0".

Se a matriz "M" é:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\0 & 1 & 1\\2 & k & 1\end{bmatrix}\end{gathered}$

Então, temos:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \det M = 0\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\0 & 1 & 1\\2 & k & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix}1 & 2\\0 & 1\\2 & k \end{matrix} = 0\end{gathered}$

 $\large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot1\cdot1 + 2\cdot1\cdot2 + 1\cdot0\cdot k - 2\cdot0\cdot1 - 1\cdot1\cdot k -1\cdot1\cdot2= 0\end{gathered}$

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 + 4 + 0 - 0 - k - 2= 0 \end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} - k + 3 = 0\end{gathered}$

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} - k = -3\end{gathered}$

                                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} k = 3\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor de "k" é:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} k = 3\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica representada na figura: