Question

Determine a matriz Y, sendo X= 2  -1  E XY=I^2

                                                          1  -1

 

ALGUÉM SABE RESOLVER?

Answer 1

$<var>X=\left[\begin{array}{cc}2&-1\\1&-1\end{array}\right]</var>$

 

$I$ é a matriz identidade. Portanto:

 

$<var>I^2=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] = I</var>$

 

Ressalte-se que, em geral, a matriz identidade $I$ tem a seguinte propriedade:

 

$<var>I \times ... \times I=I^n=I</var>$

 

$<var>XY=I^2 \Rightarrow \left[\begin{array}{cc}2&-1\\1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}y_1&y_2\\y_3&y_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] \Rightarrow</var>$

 

$<var>\begin{cases} 2y_1-y_3=1\\2y_2-y_4=0\\y_1-y_3=0\\y_2-y_4=1 \end{cases}</var>$

 

$<var>y_1=y_3 \Rightarrow 2y_3-y_3=1 \Rightarrow y_3=1 \Rightarrow y_1=1</var>$

 

$<var>2y_2=y_4 \Rightarrow y_2-2y_2=1 \Rightarrow -y_2=1 \Rightarrow y_2=-1 \Rightarrow y_4=-2</var>$

 

Portanto:

 

$<var>Y=\left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&-2\end{array}\right]</var>$

 

Como $<var>XY=I \Rightarrow</var>$ $<var>Y</var>$ é chamada de matriz inversa de $<var>X</var>$ e usa-se a notação:

 

$<var>Y=X^{-1}</var>$