Question

Considere a função f( x ) = 1/x+√x⁵). Determine a integral definida de f ( x) para x variando entre 1 e e.
a.

integral com 1 subscrito com e sobrescrito f parêntese esquerdo x parêntese direito d x igual a numerador 1 menos 2 e mais raiz quadrada de e à potência de 7 fim da raiz sobre denominador e fim da fração
b.

integral com 1 subscrito com e sobrescrito f parêntese esquerdo x parêntese direito d x igual a numerador 9 mais 2 raiz quadrada de e à potência de 7 fim da raiz sobre denominador 7 fim da fração
c.

integral com 1 subscrito com e sobrescrito f parêntese esquerdo x parêntese direito d x igual a numerador 5 mais 2 raiz quadrada de e à potência de 7 fim da raiz sobre denominador 7 fim da fração
d.

integral com 1 subscrito com e sobrescrito f parêntese esquerdo x parêntese direito d x igual a raiz quadrada de e à potência de 7 fim da raiz menos 1
e.

integral com 1 subscrito com e sobrescrito f parêntese esquerdo x parêntese direito d x igual a raiz quadrada de e à potência de 7 fim da raiz mais 3

Answer 1

A integral definida é igual a F(x) = (5 + 2√e⁷)/7, alternativa C.

Integral

Para o cálculo de integrais, devemos utilizar várias regras e métodos para resolver tais problemas. O cálculo de integrais é geralmente utilizado para calcular áreas abaixo de curvas determinadas por certas funções.

Seja a função dada por f(x) = 1/x + √x⁵, podemos reescrevê-la como:

f(x) = 1/x + x^(5/2)

Os limites de integração são 1 e e, portanto:

$F(x)=\int\limits^e_1 {\dfrac{1}{x}} \, dx +\int\limits^e_1 x^{\frac{5}{2}} \, dx$

Calculando a primeira integral:

$\int\limits^e_1 {\dfrac{1}{x}} \, dx = ln(x)|^e_1 = ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1$

Calculando a segunda integral:

$\int\limits^e_1 x^{\frac{5}{2}} \, dx= \dfrac{x^{\frac{7}{2}}}{\dfrac{7}{2}} = \dfrac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}|_1^e = \dfrac{2}{7}e^{\frac{7}{2}} - \dfrac{2}{7}1^{\frac{7}{2}} = \dfrac{2}{7}\cdot(e^{\frac{7}{2}}-1)$

Logo, teremos:

F(x) = 1 + (2/7)·(√e⁷ - 1)

F(x) = 1 - 2/7 + (2/7)√e⁷

F(x) = 5/7 + (2/7)√e⁷

F(x) = (5 + 2√e⁷)/7

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