Question

Um fabricante de latas cilíndricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com volume de 600 ml. as dimensões que minimizarão a área total da superfície de uma lata como esta e, portanto, a quantidade de metal necessário para fabricá-la?

Answer 1

Resposta:

$R = \sqrt[3]{\frac{300}{\pi}}\ cm$   e   $h = 2\sqrt[3]{\frac{300}{\pi}}\ cm$

Explicação passo a passo:

Área do cilindro:

$A=2\pi rh+2\pi r^2$

Volume do cilindro:

$V=\pi r^2h$

Precisamos minimizar a área, dado um volume fixo para a lata. Isso significa que buscamos as dimensões que devem ser utilizadas para que a área seja minimizada. Para estudar o comportamento da área, é interessante colocá-la em função de alguma medida da lata, de forma que possamos estudar esta função para encontrar seu valor mínimo. Na equação acima, é possível observar que a área está determinada por 2 variáveis, o raio e a altura, mas para obter um resultado pontual precisamos que a área seja descrita em função de uma única variável, e para isso, usaremos o fato de que procuramos uma lata com um volume fixo e determinado:

$V=\pi r^2h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}$

Encontramos uma relação entre a altura e o raio, vamos substituí-la na fórmula da área:

$A=2\pi r\left ( \frac{V}{\pi r^2} \right )+2\pi r^2\Rightarrow A=\frac{2V}{r}+2\pi r^2$

Agora encontramos a expressão da área em função do raio, ou seja:

$A(r)=\frac{2V}{r}+2\pi r^2$

Esta é uma função de uma única variável, visto que nosso volume é uma constante. Precisamos encontrar o valor do raio que irá minimizar a nossa área, ou seja, buscamos o ponto de mínimo desta função. Para isso, vamos encontrar o valor de r para o qual a primeira derivada da função vale 0:

$A'(r)=-\frac{2V}{r^2}+4\pi r$

$0=-\frac{2V}{r^2}+4\pi r\Rightarrow \frac{2V}{r^2}=4\pi r\Rightarrow r^3=\frac{V}{2\pi}\Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Encontramos o ponto crítico da nossa função, vamos testar se ele realmente é o ponto de mínimo que estávamos procurando, faremos isso por meio de um estudo da concavidade da função, que é determinada pela segunda derivada:

$A''(r)=\frac{4V}{r^3}+4\pi$

Como é possível observar, para qualquer r > 0 a segunda derivada possui valor positivo, visto que V é positivo, isso significa que a concavidade da função é para cima, e o ponto crítico que encontramos é de fato um ponto de mínimo local, isto é, o valor de r para o qual a área tem o menor valor possível (tomando r > 0).

Como o enunciado nos disse que o volume é de 600 ml, isto é, 600 cm³, então a medida do nosso raio, em centímetros, será:

$r=\sqrt[3]{\frac{600}{2\pi}}=\sqrt[3]{\frac{300}{\pi}}\ cm$

Para encontrar a altura é bem simples, podemos usar aquela relação que obtemos mais cedo:

$h=\frac{V}{\pi r^2}\Rightarrow h=\frac{600}{\pi \sqrt[3]{\frac{300}{\pi}}^2}=2\sqrt[3]{\frac{300}{\pi}}\ cm$