Question

Utilizando o conceito de integral calcular a área destacada:
A)20 u.a
B)15 u.a
C)9 u.a
D)16 u.a
E)10 u.a

Answer 1

Resposta:

Veja no eixo x que a área se limita ao intervalo [0, 3]. Sendo assim:

$\sf A=\displaystyle\int^{\sf3}_{\sf0}\sf f(x)\,dx=\displaystyle\int^{\sf3}_{\sf0}\sf (4x-x^2)\,dx$

Pelo teorema fundamental do cálculo, no qual

$\boxed{\displaystyle\int^{\sf b}_{\sf a}\sf f(x)\,dx=\bigg[F(x)\bigg]^b_a=F(b)-F(a)}$

, segue que:

$\displaystyle\int^{\sf3}_{\sf0}\sf (4x-x^2)\,dx=\bigg[\displaystyle\int(4x-x^2)\,dx\bigg]^3_0$

$\displaystyle\int^{\sf3}_{\sf0}\sf (4x-x^2)\,dx=\bigg[\displaystyle\int(4x)\,dx-\displaystyle\int(x^2)\,dx\bigg]^3_0$

$\displaystyle\int^{\sf3}_{\sf0}\sf (4x-x^2)\,dx=\bigg[2x^2-\dfrac{x^3}{3}\bigg]^3_0$

$\displaystyle\int^{\sf3}_{\sf0}\sf (4x-x^2)\,dx=\bigg[2(3)^2-\dfrac{(3)^3}{3}\bigg]-\bigg[2(0)^2-\dfrac{(0)^3}{3}\bigg]$

$\displaystyle\int^{\sf3}_{\sf0}\sf (4x-x^2)\,dx=\bigg[2(9)-\dfrac{27}{3}\bigg]-\bigg[2(0)-\dfrac{0}{3}\bigg]$

$\displaystyle\int^{\sf3}_{\sf0}\sf (4x-x^2)\,dx=\big[18-9\big]-\big[0-0\big]$

$\displaystyle\int^{\sf3}_{\sf0}\sf (4x-x^2)\,dx=9-0$

$\red{\boxed{\displaystyle\int^{\sf3}_{\sf0}\sf (4x-x^2)\,dx=9~u.a.}}$

Letra C

Na dúvida quanto a área, podemos conferir em algum aplicativo que plota gráficos (veja anexo).