Matéria: Matemática
Autor: veridianasm
Perguntado 3 anos atrás

Sabendo que P é um ponto que pertence ao eixo Z, cuja distância é igual a 3 em relação ao ponto T (-1. 2, -2). Sendo assim, o ponto P é

Respostas

respondido por: Lukyo

Resposta: P(0, 0, 0) ou P(0, 0, − 4).

Explicação passo a passo:

Se o ponto P(a, b, c) pertence ao eixo z, então as coordenadas x e y do ponto P são nulas, isto é, P é da forma (0, 0, c), com c ∈ ℝ.

A distância de P até T(− 1, 2, − 2) é igual a 3. Tomando a fórmula da distância entre os dois pontos e substituindo as suas coordenadas, devemos ter

$\sqrt{(x_T-x_P)^2+(y_T-y_P)^2+(z_T-z_P)^2}=3\\\\\Longleftrightarrow\quad \sqrt{(-1-0)^2+(2-0)^2+(-2-c)^2}=3\\\\ \Longleftrightarrow\quad \sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-2-c)^2}=3\\\\$

Expanda o quadrado da soma que está entre parênteses (ver produtos notáveis). Depois, agrupe os termos semelhantes:

$\Longleftrightarrow\quad \sqrt{1+4+(4+4c+c^2)}=3\\\\\Longleftrightarrow\quad \sqrt{9+4c+c^2}=3$

Eleve os dois lados ao quadrado para simplificar a raiz quadrada:

$\Longrightarrow\quad (\sqrt{9+4c+c^2})^2=3^2\\\\\Longleftrightarrow\quad \diagup\!\!\!\! 9+4c+c^2=\diagup\!\!\!\! 9\\\\\Longleftrightarrow\quad 4c+c^2=0$

Esta é uma equação do 2º grau na variável c. Como não aparece o termo independente, podemos colocar a variável c em evidência. O produto de dois números reais é zero somente se pelo menos um deles é igual a zero:

$\Longleftrightarrow\quad c\cdot (4+c)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad c=0\quad\mathrm{ou}\quad 4+c=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad c=0\quad\mathrm{ou}\quad c=-\,4\qquad\checkmark$

Logo, temos duas possibilidades para o ponto P:

⟹ P(0, 0, 0) ou P(0, 0, − 4).

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!

Kin07: Boa resposta.

Lukyo: Obrigado! :-)

Kin07: Lukyo Trabalha o Látex que você é fera.

Lukyo: Eu uso, mas quando respondo pelo app, demoro muito mais para digitar pelo editor do próprio app.

Kin07: ah ruim pelo app

Lukyo: Fora quando o app buga todo o meu código, tem partes da resposta que ficam incompreensíveis.. rsrsrs

respondido por: solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os dois possíveis pontos pertencentes ao eixo dos "z" são:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf P'(0, 0, 0)\:\:\:e\:\:\:P''(0, 0, -4)\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} P(0,0,z)\\T(-1, 0, -2)\\D_{PT} = 3\:u\\z = \:?\end{cases}$

Para descobri o(s) valore(s) de "z" devemos utilizar a seguinte estratégia:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} D_{PT} = 3\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sqrt{(X_{T} - X_{P})^{2} + (Y_{T} - Y_{P})^{2} + (Z_{T} - Z_{P})^{2}}= 3\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (\sqrt[\!\diagup\!\!]{(X_{T} - X_{P})^{2} + (Y_{T} - Y_{P})^{2} + (Z_{T} - Z_{P})^{2}})^{\!\diagup\!\!\!2} = 3^{2}\end{gathered}$}$