Question

Esboce as curvas utilizando a calculadora Gráfica do geogebra e encontre área da região delimitada pelas curvas dadas:

y= 5 - x^{2} e y= x +3

Answer 1

Resposta:

Pra esboçar as curvas nesse aplicativo, escreva suas equações no campo ''Entrada'' denotando-as por funções f e g. Será necessário encontrar os pontos x de intersecção entre as curvas. Observando o plano é possível identificar os pontos - 2 e 1. Mas em caso de dificuldade, é possível calculá-los comparando as funções:

$\sf y=5-x^2~e~y=x+3\implies 5-x^2=x+3$

$\sf x^2+x+3-5=0$

$\sf x^2+x-2=0$

$\sf x^2-x+2x-2=0$

$\sf x(x-1)+2(x-1)=0$

$\sf(x+2) (x-1)=0$

$\sf (x+2)=0\vee(x-1)=0$

$\sf x=-\,2\vee x=1$

Após identificá-los, escreva o seguinte comando em um novo campo:

• IntegralEntre( Função, Função, Valor de x Inicial, Valor de x Final )

Inserindo as funções e os pontos de interseção, tem-se:

• IntegralEntre( f,g,- 2,1 )

Assim veremos destacado no plano que a área da região delimitada pelas curvas é igual a 4,5 (vide anexo).

Também podemos encontrar este mesmo valor ''manualmente'' calculando a seguinte integral:

$\sf A=\displaystyle\int^{\sf 1}_{\sf-2}\sf\big[(x+3)-(5-x^2)\big]dx$

$\sf A=\displaystyle\int^{\sf 1}_{\sf-2}\sf\big(x+3-5+x^2\big)dx$

$\sf A=\displaystyle\int^{\sf 1}_{\sf-2}\sf\big(x^2+x-2\big)dx$

$\sf A=\bigg[\displaystyle\int\sf\big(x^2+x-2\big)dx\,\bigg]^{\sf 1}_{\sf-2}$

$\sf A=\bigg[\displaystyle\int\sf x^2dx+\displaystyle\int\sf xdx-\displaystyle\int\sf2dx\,\bigg]^{\sf 1}_{\sf-2}$

$\sf A=\bigg[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x\bigg]^{\sf 1}_{\sf-2}$

$\sf A=\bigg[\dfrac{(-2)^3}{3}+\dfrac{(-2)^2}{2}-2(-2)\bigg]-\bigg[\dfrac{1^3}{3}+\dfrac{1^2}{2}-2(1)\bigg]$

$\sf A=\bigg[-\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{2}+4\bigg]-\bigg[\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2\bigg]$

$\sf A=\bigg[-\dfrac{8}{3}+2+4\bigg]-\bigg[\dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}-\dfrac{12}{6}\bigg]$

$\sf A=\bigg[-\dfrac{8}{3}+6\bigg]-\bigg[\dfrac{2+3-12}{6}\bigg]$

$\sf A=\bigg[-\dfrac{8}{3}+\dfrac{18}{3}\bigg]+\dfrac{7}{6}$

$\sf A=\dfrac{18-8}{3}+\dfrac{7}{6}$

$\sf A=\dfrac{10}{3}+\dfrac{7}{6}$

$\sf A=\dfrac{20}{6}+\dfrac{7}{6}$

$\sf A=\dfrac{20+7}{6}$

$\sf A=\dfrac{27}{6}$

$\red{\sf A=\dfrac{9}{2}=4,\!5~u.a.}$