Question

Seja A o valor da área da região delimitada pelos gráficos das funções f(x) = x2 e g(x) = x3 e no intervalo [0,1] . Então, é correto afirmar que: a. A espaço igual a espaço 1 sobre 8 b. A espaço igual a espaço 1 sobre 6 c. A espaço igual a espaço 1 sobre 12 d. A espaço igual a espaço 1 quarto e. A espaço igual a espaço 1

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor da área compreendida entre as curvas das referidas funções dadas, no respectivo intervalo é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \frac{1}{12}\,u^{2}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:C\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as funções:

                       $\Large\begin{cases}\tt f(x) = x^{2}\\\tt g(x) = x^{3}\end{cases}$

Para calcular a área "S" compreendida entre duas funções no intevalo [a, b], devemos calcular a seguinte integral definida:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \int_{a}^{b} \left[f(x) - g(x)\right]\,dx\end{gathered}$

Onde:

     $\Large\begin{cases} \tt S = \acute{A}rea\:entre\:as\:curvas\\\tt a = Limite\:inferior\:intervalo\\\tt b = Limite\:superior\:intervalo\\\tt f(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:acima\\\tt g(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:abaixo\end{cases}$

Substituindo os valores na equação "I" temos:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \int_{0}^{1} \left[x^{2} - x^{3}\right] \,dx\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} - \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + c\right] \bigg|_{0}^{1}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + c\right] \bigg|_{0}^{1}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[\frac{1^{3}}{3} - \frac{1^{4}}{4} + c\right] - \left[\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{4}}{4} + c\right]\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{4 - 3}{12}\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{1}{12}\end{gathered}$

✅ Portanto, a área é:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt S = \frac{1}{12}\,u^{2}\end{gathered}$

     

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Veja a solução gráfica representada na figura: