Question

Determine a equação segmentaria das retas que passam pelos pontos A e B: A(3,0) B(0,1)

Answer 1

Após o cálculo realizado podemos firmar que a equação segmentária da reta r é:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{x}{3}+ y = 1 } }$

Seja $\boldsymbol{ \displaystyle \sf r }$ uma reta que intersecta os eixos $\boldsymbol{ \displaystyle \sf Ox }$ no $\boldsymbol{ \displaystyle \sf P\: (\: p, 0\: ) }$ e intersecta no eixos $\boldsymbol{ \displaystyle \sf Oy }$ no ponto $\boldsymbol{ \displaystyle \sf Q\: (\: 0, q\: ) }$

Calculando o coeficiente angular, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m= \dfrac{o - q}{p -0} \Rightarrow m = -\:\dfrac{q}{p} } }$

Usando a forma reduzida, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{y = m x + n }$

Em que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m = -\: \dfrac{q}{p} ~~e ~ ~ n = q } }$

vem:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = -\:\dfrac{q}{p} \:x + q \Rightarrow py = -\: qx +pq } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ qx +py = pq }$

Dividindo os dois membros por $\boldsymbol{ \displaystyle \sf (\: p \neq 0 ~~e ~~ q \neq 0 \:) }$, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{\backslash\!\!\!{q} x}{p\backslash\!\!\!{q} } + \dfrac{ \backslash\!\!\!{ p} y}{\backslash\!\!\!{p}q} = \dfrac{\backslash\!\!\!{p}\backslash\!\!\!{q} }{\backslash\!\!\!{p}\backslash\!\!\!{q} } } }$

$\quad \textrm{ }\quad\displaystyle \sf \begin{array}{ c }\Large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1 } } \\ \\ \uparrow \\ \\ \Large \text {\sf \sf Equac_{\!\!\!,} {\~a}o segment{\'a}ria da reta} \end{array}$

Seja G(x, y) um ponto genérico de r. A equação de r pode ser obtida a partir da condição de alinhamento de P, Q e G:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf p & \sf 0 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf q & \sf 1\end{array} = 0 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf 3 & \sf 0 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 1\end{array} = 0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (3 +0 +0)- ( 3y + 0 + x) = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{3 - 3y -x = 0 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ -x -3y = -3 \quad \gets\times \dfrac{1}{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{- \; \dfrac{x}{3} -\: \dfrac{3y}{3} = -\: \dfrac{3}{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{- \; \dfrac{x}{3} -\: y = -\: 1 \quad \times (-\: 1)} }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \dfrac{x}{3} + y =1 }$

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