Question

Resolva o sistema

8^x.4^x=1/4
4^x.2^-y=2

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado a solução do sistema é o par ordenado  é

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S = ( \: x, y \:) = \left\{ - \dfrac{2}{5} , ~ - \dfrac{9}{5} \right\} } }$

A potenciação indica multiplicações de fatores iguais.

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ a^n = \underbrace{ \sf a \cdot a \cdot a \cdot a \ldots a}_{\sf n ~ fatores} } } }$

O número a é chamado de base e n exponte da ptência $\textstyle \sf \sf a^{n}$.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ Propriedades: \begin{cases}\sf a^m \cdot a^n = a^{m+n} \\ \\\sf \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m -n} \\ \\\sf (a^m)^n = a ^{m \times n} \\ \\ \sf (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \\ \\\sf \left( \dfrac{a}{b} \right )^n = \dfrac{a^n}{b^n} \end{cases} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf 8^x \cdot 4^x = \dfrac{1}{4} \\ \\\sf 4^x \cdot 2^{-y} = 2 \end{cases} } }$

Primeiramente devemos transformar em base 2 a primeira equação.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 8^x \cdot 4^x = \dfrac{1}{4} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{(2^3)^{x} \cdot (2^2)^{x} = 4^{-1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2^{3x} \cdot 2^{2x} = (2^2)^{-1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2^{3x+2x} = 2^{-2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \backslash\!\!\!{2}^{5x} = \backslash\!\!\!{2}^{-2} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 5x = - 2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = -\:\dfrac{2}{5} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 4^x \cdot 2^{-y} = 2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2^{2x} \cdot 2^{-y} = 2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \backslash\!\!\!{2}^{2x -y} = \backslash\!\!\!{2}^1 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2x-y = 1 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2 \cdot \left( -\: \dfrac{2}{5} \right)-y = 1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ -\:\dfrac{4}{5} - 1 = y } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ -\:\dfrac{4}{5} - \dfrac{5}{5} = y } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = -\:\dfrac{9}{5} }$

Portanto a solução do sistema é o par ordenado é:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S = ( \: x, y \:) = \left\{ - \dfrac{2}{5} , ~ - \dfrac{9}{5} \right\} }$

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