Question

encontre a solução geral da equação diferencial y'(x)+1/xy(x) = x-1 e condição inicial y(1)= 0, e assinale a alternativa correta:

1-

Answer 1

Resposta:

$\sf y'(x)+\frac{1}{x}y(x)=x-1$

Veja que esta equação se encontra na forma:

$\sf y'(x)+p(x)y(x)=q(x)$

Portanto, usarei o método do fator integrante. Primeiramente, calculando o fator integrante $\mu$:

$\sf\mu=e^{\int\sf \!p(x)dx}$

$\sf\mu=e^{ln|x|}$

A base da potência e a base do logaritmo são iguais a e. Então pela propriedade $\sf b^{log_b^a}=a$, segue que:

$\sf\mu=x$

Prosseguindo:

$\sf\mu\cdot y(x)=\int\sf \mu\cdot q(x)dx$

$\sf x\cdot y(x)=\int\sf x\cdot(x-1)dx$

$\sf x\cdot y(x)=\int\sf (x^2-x)dx$

$\sf x\cdot y(x)=\int\sf x^2dx-\int\sf x\,dx$

$\sf x\cdot y(x)=\frac{x^3}{3}+\mathnormal{C}_1-\frac{x^2}{2}+\mathnormal{C}_2$

$\sf x\cdot y(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\mathnormal{C}$

$\sf y(x)=\frac{1}{x}\cdot(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\mathnormal{C})$

$\sf y(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{x}{2}+\frac{\mathnormal{C}}{x}$

Essa é a solução geral. Como foi dado a condição inical y(1) = 0, tem-se que:

$\sf y(1)=\frac{1^2}{3}-\frac{1}{2}+\mathnormal{C}=0$

$\sf \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\mathnormal{C}=0$

$\sf \frac{2}{6}-\frac{3}{6}+\mathnormal{C}=0$

$\sf -\,\frac{1}{6}+\mathnormal{C}=0$

$\sf \mathnormal{C}=\frac{1}{6}$

Portanto, uma solução particular encontrada é:

$\sf y(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{x}{2}+\frac{\frac{1}{6}}{x}$

$\sf y(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{x}{2}+\frac{1}{6\cdot x}$

$\red{\sf y(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{x}{2}+\frac{1}{6x}}$

Opção E