em uma urna há 10 bolas vermelhas e cinco bolas brancas. Retirando-se 3 bolas sem reposição, ao acaso, qual a probabilidade de pelo menos uma ser de cor diferente das demais?
Respostas
Resposta: 5/7.
Explicação passo a passo:
- Espaço amostral: Temos 15 (quinze) bolas no total, sendo 05 brancas e 10 vermelhas.
O total de maneiras que podemos escolher 03 bolas quaisquer deste conjunto, sem reposição, é
15 . 14 . 13 = 2730 possibilidades
- Evento A: As 03 bolas retiradas são todas brancas.
O número de maneiras que isso pode acontecer é
#(A) = 5 . 4 . 3 = 60 possibilidades
A probabilidade de A ocorrer é
p(A) = 60/2730
- Evento B: As 03 bolas retiradas são todas vermelhas.
O número de maneiras que isso pode acontecer é
#(B) = 10 . 9 . 8 = 720 possibilidades.
A probabilidade de B ocorrer é
p(B) = 720/2730
- Evento A U B: As 03 bolas retiradas são todas brancas ou todas vermelhas. É a união dos eventos A e B.
A e B são mutuamente exclusivos, ou seja, a interseção entre eles é vazia, já que é impossível as 03 bolas retiradas serem simultaneamente todas brancas e todas vermelhas. Logo, a probabilidade da união é a soma direta das probabilidades individuais:
p(A U B) = p(A) + p(B)
p(A U B) = (60/2730) + (720/2730)
p (A U B) = 780/2730
Simplificando a fração por mdc(780, 2730) = 390, temos
p(A U B) = 2/7
Queremos calcular a probabilidade de ao retirarmos 03 bolas sem reposição, pelo menos uma cor seja diferente das demais. Isso é equivalente a calcular a probabilidade de não serem todas brancas e não serem todas vermelhas (evento complementar de A U B).
Logo, a probabilidade pedida é
1 - p(A U B)
= 1 - (2/7)
= 5/7
A probabilidade de pelo menos uma bola ser de cor diferente das demais é 5/7.
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Bons estudos! :-)