Question

Use o método dos Coeficientes a Determinar para obter a solução geral da Equação
Diferencial

y′′ − 2y′ + y = sen x + 4 cos x

Answer 1

Resposta:

$\sf y''-2y'+y=sen\,x+4cos\,x$

Será necessário determinar a solução homogênea e a solução particular. Para isso, suponha y = $\sf e^{\lambda x}$ de modo que:

$\sf \frac{d^2}{dx^2}(e^{\lambda x})-2\frac{d}{dx}(e^{\lambda x})+e^{\lambda x}=0$

$\sf \frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}(e^{\lambda x})\frac{d}{dx}(\lambda x))-2\frac{d}{dx}(e^{\lambda x})\frac{d}{dx}(\lambda x)+e^{\lambda x}=0$

$\sf \frac{d}{dx}(e^{\lambda x}\lambda)-2e^{\lambda x}\lambda+e^{\lambda x}=0$

$\sf \lambda\cdot\frac{d}{dx}(e^{\lambda x})-2\lambda e^{\lambda x}+e^{\lambda x}=0$

$\sf \lambda\cdot\frac{d}{dx}(e^{\lambda x})\frac{d}{dx}(\lambda x)-2\lambda e^{\lambda x}+e^{\lambda x}=0$

$\sf \lambda^2 e^{\lambda x}-2\lambda e^{\lambda x}+e^{\lambda x}=0$

$\sf (\lambda^2-2\lambda+1)\cdot e^{\lambda x}=0$

$\sf \lambda^2-2\lambda+1=0$

$\sf (\lambda-1)^2=0$

$\sf |\lambda-1|=\sqrt{0}$

$\sf \lambda-1=0$

$\sf \lambda_{1,2}=1$

Dado que são duas raízes reais e iguais, a solução homogênea é definida por:

$\sf y_h=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2xe^{\lambda_2 x}$

$\sf y_h=c_1e^{1x}+c_2xe^{1x}$

$\sf y_h=c_1e^{x}+c_2xe^{x}$

Considere agora uma solução particular na forma:

$\sf y_p=A_1 cos\, x+A_0sen\, x$

Dela segue que:

$\sf y'_p=\frac{d}{dx}(A_1 cos\, x+A_0sen\, x)=-\,A_1 sen\, x+A_0 cos\, x$

$\sf y''_p=\frac{d}{dx}(-\,A_1 sen\,\omega x+A_0 cos\, x)=-\,A_1 cos\, x-A_0sen\, x$

Substituindo na equação inicial:

$\sf y_p''-2y_p'+y_p=sen\,x+4cos\,x$

$\sf (-\,A_1 cos\, x-A_0sen\, x)-2(-\,A_1 sen\, x+A_0 cos\, x)+A_1 cos\, x+A_0sen\, x=sen\,x+4cos\,x$

$\sf -\,A_1 cos\, x-A_0sen\, x+2A_1 sen\, x-2A_0 cos\, x+A_1 cos\, x+A_0sen\, x=sen\,x+4cos\,x$

$\sf 2A_1 \cdot sen\, x-2A_0 \cdot cos\, x=1\cdot sen\,x+4\cdot cos\,x$

De modo a obter o valor dos coeficientes:

$\begin{cases}\sf2A_1=1\\\sf -\,2A_0=4\end{cases}\implies\begin{cases}\sf A_1=\frac{1}{2}\\\sf A_0=-\,2\end{cases}$

Assim temos uma solução particular:

$\sf y_p=\dfrac{1}{2}cos\, x-2sen\, x$

Por fim, a solução geral é a solução homogênea mais a solução particular:

$\sf y=y_h+y_p$

$\red{\boxed{\sf y=c_1e^{x}+c_2xe^{x}+\dfrac{1}{2}cos\, x-2sen\, x}}$