Question

Compoe uma equação biquadrada que admite as raizes ±4e0

×⁴-16=0

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação biquadrada procurada é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf eq: x^{4} - 16x^{2} = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Observação: Toda equação biquadrada tem 4 raízes.

Sabemos que toda função biquadrada pode ser montada em função de suas raízes da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$     $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')\cdot(x - x'')\cdot(x - x''')\cdot(x - x'''') = 0\end{gathered}$

Se a referida equação deve admitir as seguintes raízes:

                             $\Large\begin{cases} x' = -4\\x'' = 0\\x''' = 0\\x'''' = 4\end{cases}$  

OBS: Nesta equação temos duas raízes de multiplicidade 1 que são (-4 e 4) e uma raíz de multiplicidade 2 qua é a raíz de valor "0".

Inserindo os valores das raízes na equação "I", temos:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - (-4))\cdot(x - 0)\cdot(x - 0)\cdot(x - 4) = 0\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x + 4)\cdot x\cdot x \cdot (x - 4) = 0\end{gathered}$

Para facilitar o entendimento do cálculo vou subdividir o produto de 4 fatores por dois produtos de dois fatores, ou seja:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left[(x + 4)\cdot(x - 4)\right] \cdot\left[x\cdot x\right] = 0\end{gathered}$

                                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \left[x^{2} - 16\right]\cdot x^{2}= 0\end{gathered}$

                                                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{4} - 16x^{2} = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação procurada é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} eq: x^{4} - 16x^{2} = 0\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica representada na figura: