Question

$\int{\frac{x^3+x+1}{x^2-2x+1}}dx$

 

Alguém da um empurrãozinho aqui ;D, por favor...

 

(Célioooo ou Pedro!!!)

Answer 1

Gab,

 

Faça a seguinte mudança de variável:

 

$<var>u=\frac1{x-1} \Rightarrow \\\\ \begin{cases} u(x-1)=1 \Rightarrow x-1 = \frac1{u} \Rightarrow x = \frac1{u}+1\\\\ \Rightarrow x^3=\frac1{u^3} + \frac3{u^2} + \frac3{u} + 1\\\\ \Rightarrow du=-\frac1{(x-1)^2}dx\end{cases} \\\\\\ \Rightarrow \int\frac{x^3+x+1}{(x-1)^2}\,dx = \int[\frac{x^3}{(x-1)^2} + \frac{x}{(x-1)^2} + \frac{1}{(x-1)^2}]\,dx=</var>$

 

$<var>=\int\frac{x^3}{(x-1)^2}\,dx + \int\frac{x}{(x-1)^2}\,dx + \int\frac{1}{(x-1)^2}\,dx=\\\\ =\int-(\frac1{u^3} + \frac3{u^2} + \frac3{u} + 1)du+\int-(\frac1{u}+1)du+\int-du=\\\\ =-\int u^{-3}du-3\int u^{-2}du-3\int u^{-1}du-\int du-\int u^{-1}du - \int du- \\ - \int du</var>$

 

Daqui prá frente a bola é sua hehe... ;D

Answer 2

 Apesar de não ter sido solicitado, segue também minha contribuição:

 

Efetuando a divisão concluímos que:

 

$x^3 + x + 1 = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) + (4x - 1)$

 

 Portanto, a integral...

 

$\int \frac{(x^2 - 2x + 1)(x + 2) + (4x - 1)}{x^2 - 2x + 1} dx = \\\\\\ \int \frac{(x- 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2} dx + \int \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} dx =$

 

 Na segunda integral (um pouca mais complicada), podemos aplicar uma fração parcial, veja:

 

$\frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} \\\\\\ \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{A(x - 1) + B}{(x - 1)^2} \\\\\\ \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{Ax - A + B}{(x - 1)^2} \begin{cases} Ax = 4x \Rightarrow \boxed{A = 4} \\ - A + B = - 1 \Rightarrow \boxed{B = 3}\end{cases} \\\\\\ \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{4}{x - 1} + \frac{3}{(x - 1)^2}$

 

 Enfim,

 

$\int \frac{(x- 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2} dx + \int \left (\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{(x - 1)^2} \right ) dx = \\\\\\ \int (x + 2) dx + \int \frac{4}{x - 1} dx + \int \frac{3}{(x - 1)^2} dx = \\\\\\ \frac{x^2}{2} + 2x + 4 \cdot \int \frac{1}{x - 1} dx + 3 \cdot \int \frac{1}{(x - 1)^2} dx = \\\\\\ \boxed{\boxed{\frac{x^2}{2} + 2x + 4 \ln |x - 1| - \frac{3}{(x - 1)} + C}}$