Question

Ao calcular o limite de funções quocientes, algumas delas podem apresentar indeterminações do tipo 0/0 ou ∞/∞. Assim, é necessário fazer uso da regra de L’Hôpital. Suponha a função f(x)=(e^x - 1)/x^3. Encontre limx->0 f(x)


.A)0

B)1

C)3

D)+∞

E)-∞

Answer 1

Resposta:

Olá bom dia!

Pela regra de L'Hopital:

$\lim_{n \to \ p} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{n \to \ p} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Ou seja, calculamos o limite das derivadas das funções do numerador e denomindor.

Assim:

$f(x) = e^x-1\\\\f'(x) = e^x$

$g(x) = x^3\\\\g'(x) = 3x^2$

$\lim_{x \to \ 0} \frac{e^x}{3x^2}$

Analisando o numerador:

Tomando valores negativos e positivos (para que o limite seja convergente) que se aproximam de 0, $e^0$ tende a um número grande, ou seja, tende a infinito.

$\lim_{x\to \ 0^-} (e^x) = +oo\\\\ \lim_{x\to \ 0^+} (e^x) = +oo$

Analisando o denomindor:

Para todo valor de x tendendo a 0 pelo lado negativo ou positivo, x está ao quadrado. Portanto:

$\lim_{x\to \ 0^+-} (3x^2) = +oo$

Então o restultado é:

+oo / +oo = +oo

Alternativa D