A figura mostra um quadrado EFGH inscrito em um quadrado ABCD. Sabendo que o lado do quadrado menor mede 10 cm e que o ângulo AEH mede 15⁰, a área do quadrado maior é:
Respostas
Resposta:
150
Explicação passo a passo:
(veja a figura em anexo)
Traçando a diagonal EG do quadrado menor e de G traçando o segmento (altura) GP paralelo ao lado AD, formamos o triângulo PEG, retângulo em P.
Como EG é diagonal do quadrado, o ângulo HÊG = 45º. Logo:
PÊG = PÊH + HÊG
PÊG = 15º + 45º
PÊG = 60º
Pelo fato de EG ser diagonal do quadrado menor, também podemos calcular sua medida pelo teorema de Pitágoras:
EG² = EF²+FG²
EG² = 10²+10²
EG² = 200
EG = √200 = 10√2
Conhecendo a medida de EG, que é medida da hipotenusa do triângulo PEG, podemos aplicar a lei dos senos e descobrir a medida de GP:
GP/sen60º = EG/sen90º
GP / √3/2 = 10√2 / 1
GP = 10√2 . √3/2
GP = 10√6 / 2
GP = 5√6
Como GP também é altura do quadrado maior, encontramos a medida do lado desse quadrado. Agora, vamos calcular a área:
Área = L² = (5√6)²
Área = 25.6
Área = 150
Obs.: Outra maneira de resolver essa questão é utilizar o sen15º que tem valor de (√6 - √2) / 4. Você pode descobrir esse valor utilizando a fórmula do seno da diferença (sen(a-b) = sena.cosb - senb.cosa), para a = 45º e b = 30º. Tal forma é mais trabalhosa.
Espero ter ajudado :)
