Question

Considere os pontos A (0 , 2) e B(1, 1) encontre a equação geral da reta que passa nesses pontos

Answer 1

Portanto, a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é: $\Large \displaystyle \mathsf{x +y - 2 = 0 }$.

Dados dois pontos distintos, $\boldsymbol{ \displaystyle \sf A\: (\: x_A, y_A\:) }$ e $\boldsymbol{ \displaystyle \sf A\: (\: x_A, y_A\:) }$, pertencentes à reta r, a relação entre as coordenadas de um ponto genérico, $\boldsymbol{ \displaystyle \sf P\: (\: x, y\:) }$, pela condição de alinhamento para os pontos A, B e P, podemos escrever:  ( Vide a figura em anexo ).

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf x_A & \sf y_A & \sf 1 \\ \sf x_B & \sf y_B & \sf 1\end{array} = 0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (\: y_A - y_B\: ) x + (\: x_B - x_A\: ) y + x_A y_B - x_B y_A = 0 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf (\: y_A - y_B\: ) = a \\\sf (\: x_B - x_A\: ) = b \\\sf x_A y_B - x_B y_A = c \end{cases} } }$

Não sendo a e b simultaneamente nulos, obtemos a equação geral da reta:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ ax +by + c = 0 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf A\:(\: 0,2\: ) \\\sf B\: (\: 1,1\:) \\\sf r: ax +bx + c = 0 \end{cases} } }$

Seja P ( x , y ) um ponto pertencente à reta r de tal maneira que os pontos A, B e P estejam alinhados. Então:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 1 & \sf 1 & \sf 1\end{array} = 0 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (\: y_A - y_B\: ) x + (\: x_B - x_A\: ) y + x_A y_B - x_B y_A = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (\: 2 - 1\: ) x + (\: 1 - 0\: ) y + 0 \cdot 1 -1 \cdot 2 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{x +y +0 - 2 = 0 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x +y - 2 = 0 }$

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