Question

As retas (r) -2x + 4y + 2 = 0 e (s) -4x -4y + 16 = 0 se encontram no ponto P(x,y). Determine as coordenadas de P.

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Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirmar que o valor de x = 3  e y = 1.

O ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf P\: (\: x_P, y_P \:) }$interseção de duas retas concorrentes r e s pertence evidentemente a cada uma das retas e, suas coordenadas devem satisfazer as equações de ambas as retas, ao mesmo tempo.

( Vide a figura em anexo ):

Sejam as retas $\boldsymbol{ \textstyle \sf r: a_1x+b_1y + c_1 }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf s: a_2 x+b_2 y + c_2 }$ . Substituindo simultaneamente as coordenadas $\boldsymbol{ \textstyle \sf x_P}$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf y_P }$ nas duas equações, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf r:a_1 x_1 + b_1 y_1 + c_1 = 0 \\ \\\sf s:a_2 x_2 + b_1 y_2 + c_2 = 0 \end{cases} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf r: -2x+ 4y + 2 = 0 \\ \\\sf s: -4x -4y +16 = 0 \end{cases} } }$

Aplincando o método da adição, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \underline{\begin{cases}\sf r: -2+ \diagup\!\!\!{ 4y} + 2 = 0 \\ \\\sf s: -4x - \diagup\!\!\!{4y} +16 = 0 \end{cases} } } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ -6x +18 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ -6x = -18 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{-18}{-6} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ -2x + 4 y+ 2 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ -2 \cdot 3 + 4y + 2 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ - 6 +4y = -2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 4y = - 2 + 6 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{4}{4} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 1 }$

Daí, obtemos x = 3  e y = 1, ou seja,  P ( 3, 1 ) é o ponto comum a r e s.

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