Question

Determinar a equação da elípse cujo eixo focal é a reta y+x=2, o centro é o ponto C(-3, 5), os comprimentos do seu eixo menor e distância focal são, respectivamente, 2 e 4.

Answer 1

Resposta:   $\dfrac{(x-y+8)^2}{10}+\dfrac{(x+y-2)^2}{2}=1.$

Explicação passo a passo:

•     eixo menor:   $2b=2\quad\Longleftrightarrow\quad b=1$

•     distância focal:   $2c=4\quad\Longleftrightarrow\quad c=2$

Encontrando o comprimento $a$ do semieixo maior:

    $a^2=b^2+c^2\\\\\Longrightarrow\quad a^2=1^2+2^2\\\\\Longleftrightarrow\quad a^2=1+4\\\\\Longleftrightarrow\quad a^2=5\\\\\Longrightarrow\quad a=\sqrt{5}$

Centro da elipse é o ponto $C(-3,\,5).$ Este deverá ser a origem $O'(h,\,k)$ do novo sistema de coordenadas após após feita a translação de eixos:

    $C(-3,\,5)\quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}h=-3\\k=5\end{array}\right.\qquad\mathrm{(i)}$

O eixo focal é uma reta oblíqua, não paralela nem ao eixo x, nem ao eixo y. Logo, devemos encontrar um ângulo $\theta$ de rotação dos eixos para o novo sistema de coordenadas $x'O'y':$

    $r\!:~y+x=2\quad\Longleftrightarrow\quad r\!:~y=-x+2\qquad\mathrm{(ii)}$

O coeficiente angular da reta $r$ é $-1.$ Considerando o eixo focal sobre a reta $Ox'$, devemos ter

    $\Longrightarrow\quad\mathrm{tg\,}\theta=-1\qquad \mathrm{(iii)}$

O ponto $C(-3,\,5)$ pertence à reta $r$ e está no 2º quadrante. Logo, o ângulo $\theta$ é do 2º quadrante, e por (iii) segue que

    $\Longrightarrow\quad\theta=\dfrac{3\pi}{4}\mathrm{~rad}\quad \Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\cos\theta=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\qquad\mathrm{(iv)}$

A equação reduzida da elipse no novo sistema de coordenadas é

    $\dfrac{x'^2}{a^2}+\dfrac{y'^2}{b^2}=1\\\\\\\Longrightarrow\quad \dfrac{x'^2}{5}+\dfrac{y'^2}{1}=1\qquad\mathrm{(v)}$

Transformação de coordenadas do sistema $xOy$ para $x'O'y':$

Devemos ter

    $\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos \theta&\mathrm{sen\,}\theta\\-\,\mathrm{sen\,}\theta&\cos \theta\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x-h\\y-k\end{bmatrix}\\\\\\ \Longrightarrow\quad \begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\,\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ -\,\frac{\sqrt{2}}{2}&-\,\frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x+3\\y-5\end{bmatrix}$

    $\Longleftrightarrow\quad \begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \begin{bmatrix}1&-1\\ 1&1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x+3\\y-5\end{bmatrix}$

Efetuando a multiplicação das matrizes do lado direito, obtemos

    $\left\{\begin{array}{l}x'=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \big(1\cdot (x+3)-1\cdot(y-5)\big)\\\\ y'=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \big(1\cdot (x+3)+1\cdot(y-5)\big)\end{array}\right.\\\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}x'=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \big(x+3-y+5)\\\\ y'=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot (x+3+y-5)\end{array}\right.$

    $\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}x'=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \big(x-y+8)\\\\ y'=-\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot (x+y-2)\end{array}\right.\qquad\mathrm{(vi)}$

Substituindo na equação (v) da elipse, obtemos

    $\Longrightarrow\quad \dfrac{\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (x-y+8)\right]^{\!2}}{5}+\dfrac{\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (x+y-2)\right]^{\!2}}{1}=1\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{\frac{1}{2}\cdot (x-y+8)^2}{5}+\dfrac{\frac{1}{2}\cdot (x+y-2)^2}{1}=1\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{(x-y+8)^2}{10}+\dfrac{(x+y-2)^2}{2}=1\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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