Question

∬S sen (x2+y2)dx dx, usando a integral dupla na forma polar, onde S é a região definida por x2+y2≤πe x≥0.

Answer 1

Resposta:   $\displaystyle\iint_{S}\mathrm{sen}(x^2+y^2)\,dy\,dx=\pi.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral dupla

    $\displaystyle\iint_{S}\mathrm{sen}(x^2+y^2)\,dy\,dx$

sendo $S$ a região do plano definida por

    $S=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~x^2+y^2\le \pi~~\mathrm{e}~~x\ge 0\}.$

Esta região é a porção que se encontra à direita do eixo $Oy,$interior ao disco com centro na origem e raio $\sqrt{\pi},$ incluindo também o segmento que liga os pontos $(0,\,-\,\sqrt{\pi})$ e $(0,\,\sqrt{\pi})$ (interseções com o eixo $Oy$).

Efetuando a mudança para coordenadas polares:

    $\left\{\begin{array}{l}x(r,\,\theta)=r\cos\theta\\\\ y(r,\,\theta)=r\,\mathrm{sen\,}\theta \end{array}\right.\qquad\mathrm{com~}\left\{\begin{array}{l}-\dfrac{\pi}{2}\le \theta\le\dfrac{\pi}{2} \\\\ 0\le r\le \sqrt{\pi}\end{array}\right.$

e usamos relação de transformação

    $x^2+y^2=r^2$

O módulo do Jacobiano desta transformação é $|\mathrm{Jac\,}\varphi (r,\,\theta)|=r.$

Escrevendo a integral dupla nas novas coordenadas, temos

    $\begin{array}{l}\displaystyle=\iint_{S'(r,\,\theta)}\mathrm{sen}(r^2)\cdot |\mathrm{Jac\,}\varphi(r,\,\theta)|\,dr\,d\theta\\\\\\ \displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{\sqrt{\pi}}\mathrm{sen}(r^2)\cdot r\,dr\,d\theta\\\\\\ \displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[\int_0^{\sqrt{\pi}}\mathrm{sen}(r^2)\cdot r\,dr\right]d\theta\end{array}$

Integrando a função em $r,$ obtemos

    $\begin{array}{l}\displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[-\,\frac{\cos(r^2)}{2}\right]_{r=0}^{r=\sqrt{\pi}}d\theta\\\\\\ \displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[-\,\frac{\cos((\sqrt{\pi})^2)}{2}+\frac{\cos(0^2)}{2}\right]d\theta\\\\\\ \displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[-\,\frac{\cos(\pi)}{2}+\frac{\cos(0)}{2}\right]d\theta\\\\\\ \displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[-\,\frac{(-1)}{2}+\frac{1}{2}\right]d\theta\end{array}$

    $\begin{array}{l}\displaystyle=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1\,d\theta\\\\ =\theta\Big|_{-\pi/2}^{\pi/2}\\\\ =\dfrac{\pi}{2}-\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\\\\ =\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\\\\ =\pi\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}\end{array}$

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Bons estudos!