Question

Oi. Preciso saber por que a igualdade a seguir é verdadeira (demonstração):


$sin^{2}(2x)=\frac{1-cos4x}{2}$

Answer 1

Resposta: $\mathrm{sen^2}(2x)=\dfrac{1-\cos(4x)}{2}.$

Explicação passo a passo:

Partimos da identidade do cosseno da soma de dois arcos:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)-\mathrm{sen}(\alpha)\cdot \mathrm{sen}(\beta)\qquad\mathrm{(i)}$

Para $\alpha=\beta=2x,$ a identidade acima fica

$\Longrightarrow\quad \cos(2x+2x)=\cos(2x) \cdot \cos(2x)-\mathrm{sen}(2x)\cdot \mathrm{sen}(2x)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos(4x)=\cos^2 (2x)-\mathrm{sen^2}(2x)\qquad\mathrm{(ii)}$

Pela relação trigonométrica fundamental, podemos escrever em particular

$1=\cos^2(2x)+\mathrm{sen^2}(2x)\qquad\mathrm{(iii)}$

Subtraindo as equações (iii) e (ii) membro a membro, obtemos

$\Longrightarrow\quad 1-\cos(4x)=\big(\cos^2(2x)+\mathrm{sen^2}(2x)\big)-\big(\cos^2(2x)-\mathrm{sen^2}(2x)\big)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1-\cos(4x)=\cos^2(2x)+\mathrm{sen^2}(2x)-\cos^2(2x)+\mathrm{sen^2}(2x)$

Os termos opostos do lado direito se cancelam, e a expressão acima fica

$\Longleftrightarrow\quad 1-\cos(4x)=\mathrm{sen^2}(2x)+\mathrm{sen^2}(2x)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1-\cos(4x)=2\,\mathrm{sen^2}(2x)$

$\Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen^2}(2x)=\dfrac{1-\cos(4x)}{2}\qquad\blacksquare$

como queríamos.

Obs.: De forma análoga, também mostramos a outra identidade abaixo:

$\Longleftrightarrow\quad \cos^2(2x)=\dfrac{1+\cos(4x)}{2}\qquad\checkmark$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

sen²(2x)=[1-cos(4x)]/2

2*sen²(2x)=1-cos(4x)

2*sen²(2x) -1 = -cos(4x)

-2*sen²(2x) +1 = cos(4x)

1-2sen²(2x)=cos(4x)

1-sen²(2x) -sen²(2x)=cos(4x)

## sen²(x)+cos²(x)=1

## cos²(x)=1-sen²(x)

cos²(2x) -sen²(2x)=cos(4x)

cos(2x)*cos(2x)-sen(2x)*sen(2x)=cos(2x+2x)

que é a  identidade do cosseno da soma de ângulos

ou faça

sen²(2x)+cos²(2x)=1

sen²(2x) =1-cos²(2x)

sen²(2x)=2*(1-cos²(2x))/2

sen²(2x)=(2-2cos²(2x))/2

sen²(2x)=(1+1-2cos²(2x))/2

sen²(2x)=(1-2cos²(2x)+1)/2

sen²(2x)=(1-(2cos²(2x)-1) )/2

## sabemos que cos(4x)=cos²(2x)-sen²(2x)

##  cos(4x)=cos²(2x)-(1-cos²(2x))

##  cos(4x)=2*cos²(2x) -1

sen²(2x)=(1-cos(4x) )/2      c.q.p.