Question

Provar que a reta x-2.a.Yo.y+Xo=O é tangente à parábola x=a.y^2 no ponto P(Xo, Yo).

Answer 1

Explicação passo a passo:

Provar que a reta $x-2ay_0y+x_0=0$ é tangente à parábola $x=ay^2$ no ponto $P(x_0,\,y_0).$

Primeiramente, vamos encontrar a equação da reta tangente à parábola $x=ay^2$ no ponto $P(x_0,\,y_0).$

Parametrizando a equação da parábola, temos

    $\gamma:~\begin{cases}x=at^2\\ y=t \end{cases}\qquad \mathrm{com~}t\in\mathbb{R}$

e $P(x_0,\,y_0)=\gamma(t_0)=(at_0^2,\,t_0),$ para algum $t_0\in\mathbb{R}.$

O vetor tangente à parábola no ponto $\gamma(t)=\big(x(t),\,y(t)\big)$ é

    $\gamma'(t)=\big(x'(t),\,y'(t)\big)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \gamma'(t)=(2at,\,1)$

No ponto $P(x_0,\,y_0)=\gamma(t_0),$ o vetor tangente é

    $\gamma'(t_0)=(2at_0,\,1)$

Equação vetoral da reta tangente à parábola no ponto $P(x_0,\,y_0)$:

    $r:~(x,\,y)=(x_0,\,y_0)+\lambda\cdot \gamma'(t_0)\\\\\Longleftrightarrow\quad r:~(x,\,y)=(x_0,\,y_0)+\lambda\cdot (2at_0,\,1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad r:~(x,\,y)=(x_0,\,y_0)+(2at_0\lambda,\,\lambda)\\\\ \Longleftrightarrow\quad r:~(x,\,y)=(x_0+2at_0\lambda,\,y_0+\lambda)$

mas $t_0=y_0:$

    $\Longleftrightarrow\quad r:~(x,\,y)=(x_0+2ay_0\lambda,\,y_0+\lambda)$

    $\Longleftrightarrow\quad r:~\begin{cases}x=x_0+2ay_0\lambda\\ y=y_0+\lambda \end{cases}\qquad\mathrm{com~}\lambda\in\mathbb{R}$

Eliminando o parâmetro $\lambda.$ Da segunda equação paramétrica da reta r, tiramos

    $\Longrightarrow\quad \lambda=y-y_0$

Substituindo na primeira equação, obtemos

    $\Longrightarrow\quad x=x_0+2ay_0(y-y_0)\\\\\Longleftrightarrow\quad x=x_0+2ay_0y-2ay_0^2$

Mas $ay_0^2=x_0:$

    $\Longleftrightarrow\quad x=x_0+2ay_0y-2x_0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=2ay_0y-x_0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x-2ay_0y+x_0=0\qquad\blacksquare$

como queríamos demonstrar.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!