Question

De quantas maneiras podemos escolher os números a,b,c tais que;


. a < b < c

. 1 < = a,b,c <= 100

.b = A + B / 2

Answer 1

Supondo ainda que  que a,b e c sejam números inteiros temos 2450 maneiras diferentes de escolher a,b,c que obedecem as regras dadas. Se a,b,c fossem reais, teríamos infinitas escolhas

Caso a,b,c reais:

Se tivermos a,b,c reais ou racionais, existem infinitas maneiras diferentes de escolher a b e c uma vez que podemos tomar a=1,1 ou a = 3,141592... (que é o número pi). Ou seja, existem infinitas escolhas do número a

Caso a,b,c inteiros:

Logo existe uma quarta regra onde a,b,c sejam números inteiros, teremos no máximo 98 escolhas possíveis apenas para o número a.

Também é importante notar que a terceira regra nos dá  A e B como números quaisquer desde que se tenha 1<b<100 onde b=(A+B)/2

(perceba que o exercício poderia pedir A=a e B=c, o que reduziria ainda mais as possibilidades de escolhas para a,b,c)

Como estamos considerando apenas números inteiros, b = (A+B)/2 precisa se de forma que   (A+B) é par.

Por exemplo, se A=2 e B=5, teríamos (A+B)/2 = (2+5)/2 = 7/2 = 3,5

Mas 3,5 não é um númeo inteiro. Logo b=3,5 não é um número válido.

Isto implica na seguinte regra na escolha de A e B:

• A impar ==> B impar
• A par     ==> B par

Considerando apenas os números A e B ímpares, podemos ter:

A=1, B=3 e b = 2 ou

A=1, B=5 e b = 3 ou...

A=1, B=99 e b = 50

Ou seja, se fixar A=1, temos 49 escolhas para B que fazem (A+B) ser par.

Fixando A=3, temos 48 escolhas para B.

Com A=19, temos  40 escolhas diferentes para o número B

Conforme deslocamos o número A no sentido positivo, as escolhas de B diminuem conforme se vê abaixo:

49, 48, 47,  ..., 3, 2, 1 escolhas para B.

Logo todas as maneiras de escolher números a,b,c que respeitam as regras apresentadas (e que sejam com A e B ímpares) será a soma:

49+48+47+...+3+2+1

Usando a soma de uma progressão aritmética, calculamos $S=\dfrac{49\cdot50}{2}=1225$

Mas essa lógica também vale para números pares.

Escolhendo a=2, temos 49 escolhas possíveis para B (que são 4, 6, 8, ..., 100)

Seguindo o mesmo raciocínio encontramos 1225 maneiras diferentes de escrever b como a soma de A+B onde A e B são pares.

Logo o total será 1225+ 1225 = 2450 maneiras diferentes de escolher a,b,c de forma que respeite todas as regras apresentadas

Veja como trabalhar com progressão aritmética em  

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