Question

Encontre o valor do número real y tal que (3+2i)(1+iy) seja
(a) real;
(b) Imaginário

Answer 1

Resposta: -2/3 e -3/2

Explicação passo a passo:

Primeiro vamos fazer a multiplicação:
$(3+2i)(1+iy)\\3*(1+yi) + 2i*(1 + yi)\\3 + 3yi + 2i + 2yi^2~(e~sabendo~que~i^2 = -1\\3 + 3yi + 2i + 2y(-1)\\3 + 3yi + 2i - 2y$
Organizando a conta, ficamos com:
$3-2y + 3yi + 2i$
a) Para que seja real (ou seja, a parte imaginária = 0): 3yi + 2i = 0
Para facilitar o entendimento, vou colocar i em evidência:
$(3y+2)i = 0 ~ agora ~basta~resolver~a~funcao~de~primeiro~grau\\3y +2=0 < = 2~passa~para~o~lado~e~inverte~o~sinal\\3y = -2 < = 3~que~esta~multiplicando~passa~para~o~lado~divindo\\y =-2/3$

Ou seja, para que seja um número real, y deve valer -2/3

b) Para que seja imaginário puro (ou seja, parte real = 0): 3 - 2y = 0

Basta fazermos o mesmo que fizemos na anterior:
$3 - 2y = 0 < = 3~passa~para~o~lado~e~troca~de~sinal\\-2y = 3 < = 2~passa~para~o~outro~lado~e~passa~a~dividir\\y = -3/2$

Ou seja, para que seja um número imaginário (ou imaginário puro), y deve valer -3/2



Espero ter ajudado e bons estudos!