Question

1) Os pontos A ( 2, 0 ), B ( 0, 4 ), C (4, 2 ) são os vértices de um triângulo ABC. Determine as equações das retas suportes dos lados desse triângulo

Answer 1

Após resolver os cálculos, concluímos que as equações das retas suportes são:

              $\Large\begin{cases} r\,_{\overline{AB}} : y = -2x + 4\\r\,_{\overline{BC}} : y = -\frac{1}{2}x + 4\\r\,_{\overline{CA}} : y = x - 2\end{cases}$

Sejam os pontos:

                           $\Large\begin{cases} A(2, 0)\\B(0, 4)\\C(4, 2)\end{cases}$

Sabendo que a reta suporte de um dos lados de qualquer polígono é sempre a reta que contem o segmento retilíneo entre os dois vértices consecutivos.

• Obtendo a reta "r" suporte ao lado AB:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - y_{A} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}\cdot(x - x_{A})\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 0 = \frac{4 - 0}{0 - 2}\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -\frac{4}{2}\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -2(x - 2)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -2x + 4\end{gathered}$

• Obtendo a reta "s" suporte ao lado BC:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - y_{B} = \frac{y_{C} - y_{B}}{x_{C} - x_{B}}\cdot(x - x_{B})\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = \frac{2 - 4}{4 - 0}\cdot(x - 0)\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = -\frac{2}{4}\cdot(x - 0)\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = -\frac{1}{2}x\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -\frac{1}{2}x + 4\end{gathered}$

• Obtendo a reta "t" suporte ao lado CA:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - y_{C} = \frac{y_{A} - y_{C}}{x_{A} - x_{C}}\cdot(x - x_{C})\end{gathered} }$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 2 = \frac{0 - 2}{2 - 4}\cdot(x - 4)\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 2 = 1\cdot(x - 4)\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 2 = x - 4\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = x - 4 + 2\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = x - 2\end{gathered}$

Portanto, as retas suportes são:

            $\Large\begin{cases} r\,_{\overline{AB}} : y = -2x + 4\\r\,_{\overline{BC}} : y = -\frac{1}{2}x + 4\\r\,_{\overline{CA}} : y = x - 2\end{cases}$

                       

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Veja a solução gráfica representada na figura: