2) Mostrar analiticamente que a distância entre dois pontos distintos quaisquer no plano coordenado permanece sem modificação (invariável) sob uma transformação (translação e rotação) de coordenadas.
Respostas
Explicação passo a passo:
Mostrar analiticamente que a transformações de translação e rotação no plano são transformações isométricas (ou isometrias), isto é, preservam as distâncias entre dois pontos quaisquer.
Sejam e dois pontos quaisquer do plano
- Translação:
Sendo a transformação de translação de coordenadas para o sistema com nova origem no ponto temos
Portanto,
Queremos mostrar que das distâncias entre os pontos nos dois sistemas de coordenadas são iguais, isto é,
- Rotação:
Sendo a transformação de rotação de coordenadas a um ângulo no sentido anti-horário, temos
Portanto,
Queremos mostrar que das distâncias entre os pontos nos dois sistemas de coordenadas são iguais, isto é,
Aplicando a fórmula para o cálculo da distância, a expressão acima fica
Expandindo os quadrados:
Cancelando os termos opostos e agrupando os termos semelhantes, a expressão fica
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)