Question

2) Mostrar analiticamente que a distância entre dois pontos distintos quaisquer no plano coordenado permanece sem modificação (invariável) sob uma transformação (translação e rotação) de coordenadas.

Answer 1

Explicação passo a passo:

Mostrar analiticamente que a transformações de translação e rotação no plano são transformações isométricas (ou isometrias), isto é, preservam as distâncias entre dois pontos quaisquer.

Sejam $A(x_1,\,y_1)$ e $B(x_2,\,y_2)$ dois pontos quaisquer do plano $\mathbb{R}^2.$

• Translação:

Sendo $T:~\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ a transformação de translação de coordenadas para o sistema com nova origem no ponto $O'(h,\,k),$ temos

    $T(x,\,y)=(x-h,\,y-k)$

Portanto,

    $\Longrightarrow\quad \begin{cases}T(A)=T(x_1,\,y_1)=(x_1-h,\,y_1-k)\\\\ T(B)=T(x_2,\,y_2)=(x_2-h,\,y_2-k) \end{cases}$

Queremos mostrar que das distâncias entre os pontos nos dois sistemas de coordenadas são iguais, isto é, $\|T(B)-T(A)\|=\|B-A\|:$

    $\|T(B)-T(A)\|\\\\=\|(x_2-h,\,y_2-k)-(x_1-h,\;y_1-k)\|\\\\=\left\|\big(x_2-h-(x_1-h),\;y_2-k-(y_1-k)\big)\right\|\\\\=\left\|\big(x_2-\diagup\!\!\!\! h-x_1+\diagup\!\!\!\! h,\;y_2-\diagup\!\!\!\! k-y_1+\diagup\!\!\!\! k\big)\right\|$

   $=\|(x_2-x_1,\,y_2-y_1)\|\\\\=\|(x_2,\,y_2)-(x_1,\,y_1)\|\\\\=\|B-A\|\qquad\quad\square$

• Rotação:

Sendo $R_\theta:~\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ a transformação de rotação de coordenadas a um ângulo $\theta$ no sentido anti-horário, temos

    $R_\theta\!\begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos \theta&\mathrm{sen\,}\theta\\-\mathrm{sen\,}\theta&\cos \theta \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad R_\theta\!\begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix}=\left[\begin{array}{rcl}x\cos \theta&\!\!\!+\!\!\!&y\,\mathrm{sen\,}\theta\\ -x\,\mathrm{sen\,}\theta&\!\!\!+\!\!\!&y\cos\theta \end{array}\right]$

    $\Longleftrightarrow\quad R_\theta(x,\,y)=(x\cos\theta+y\,\mathrm{sen\,}\theta,\;-x\,\mathrm{sen\,}\theta+y\cos\theta)$

Portanto,

    $\Longrightarrow\quad\begin{cases}R_\theta(A)=R_\theta(x_1,\,y_1)=(x_1\cos\theta+y_1\,\mathrm{sen\,}\theta,\;-x_1\,\mathrm{sen\,}\theta+y_1\cos\theta)\\\\ R_\theta(B)=R_\theta(x_2,\,y_2)=(x_2\cos\theta+y_2\,\mathrm{sen\,}\theta,\;-x_2\,\mathrm{sen\,}\theta+y_2\cos\theta) \end{cases}$

Queremos mostrar que das distâncias entre os pontos nos dois sistemas de coordenadas são iguais, isto é, $\|R_\theta(B)-R_\theta(A)\|=\|B-A\|:$

    $\|R_\theta(B)-R_\theta(A)\|$

    $=\left\|\Big(x_2\cos\theta+y_2\,\mathrm{sen\,}\theta,\,-x_2\,\mathrm{sen\,}\theta+y_2\cos\theta\Big)-\Big(x_1\cos\theta+y_1\,\mathrm{sen\,}\theta,\,-x_1\,\mathrm{sen\,}\theta+y_1\cos\theta\Big)\right\|$

    $=\left\|\Big(x_2\cos\theta+y_2\,\mathrm{sen\,}\theta-(x_1\cos\theta+y_1\,\mathrm{sen\,}\theta),\,-x_2\,\mathrm{sen\,}\theta+y_2\cos\theta-(-x_1\,\mathrm{sen\,}\theta+y_1\cos\theta)\Big)\right\|$

    $=\left\|\Big(x_2\cos\theta+y_2\,\mathrm{sen\,}\theta-x_1\cos\theta-y_1\,\mathrm{sen\,}\theta,\;-x_2\,\mathrm{sen\,}\theta+y_2\cos\theta+x_1\,\mathrm{sen\,}\theta-y_1\cos\theta\Big)\right\|$

    $=\left\|\Big((x_2-x_1)\cos\theta+(y_2-y_1)\,\mathrm{sen\,}\theta,\;(x_2-x_1)(-\,\mathrm{sen\,}\theta)+(y_2-y_1)\cos\theta\Big)\right\|$

Aplicando a fórmula para o cálculo da distância, a expressão acima fica

    $=\sqrt{\Big((x_2-x_1)\cos\theta+(y_2-y_1)\,\mathrm{sen\,}\theta\Big)^2+\Big((x_2-x_1)(-\,\mathrm{sen\,}\theta)+(y_2-y_1)\cos\theta\Big)^2}$

Expandindo os quadrados:

    $\begin{array}{lcl}=\!\!&\sqrt{\Big((x_2-x_1)^2\cos^2\theta+2(x_2-x_1)(y_2-y_1)\cos\theta\,\mathrm{sen\,}\theta+(y_2-y_1)^2\,\mathrm{sen^2\,}\theta\Big)+\ldots}\\\\ &\overline{\ldots +\Big((x_2-x_1)^2\,\mathrm{sen^2\,}\theta-2(x_2-x_1)(y_2-y_1)\cos\theta\,\mathrm{sen\,}\theta+(y_2-y_1)^2\cos^2\theta\Big)} \end{array}$

Cancelando os termos opostos e agrupando os termos semelhantes, a expressão fica

    $=\sqrt{(x_2-x_1)^2(\cos^2\theta+\mathrm{sen^2\,}\theta)+(y_2-y_1)^2(\mathrm{sen^2\,}\theta+\cos^2\theta)}\\\\ =\sqrt{(x_2-x_1)^2\cdot 1+(y_2-y_1)^2\cdot 1}\\\\ =\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

    $=\|(x_2-x_1,\;y_2-y_1)\|\\\\ =\|(x_2,\,y_2)-(x_1,\,y_1)\|\\\\ =\|B-A\|\qquad\quad\square$

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Bons estudos! :-)