Question

O valor da integral de linha: lc(xy²dx+x²ydy), em que C, é o arco da parábola x=t; y=t², de (0,0) a (2,4), é?

Answer 1

Resposta:   $\displaystyle\int_C xy^2\,dx+x^2y\,dy=32.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral de linha do campo vetorial no $\mathbb{R}^2$

    $\mathbf{F}(x,\,y)=(xy^2)\mathbf{i}+(x^2y)\mathbf{j}=\langle xy^2,\,x^2y \rangle$

sobre a curva $C,$ parametrizada abaixo

    $C:~\begin{cases}~x(t)=t\\ ~y(t)=t^2 \end{cases}\qquad \mathrm{com~}t\in[0,\,2].$

Esta curva é um arco de parábola cujas extremidades são os pontos $(0,\,0)$ e $(2,\,4).$

Consideraremos a orientação da curva o sentido de crescimento do parâmetro $t.$

Calculando o vetor tangente a curva $C:$

    $C'(t)=\big\langle x'(t),\,y'(t) \big\rangle\\\\ \Longrightarrow\quad C'(t)=\big\langle (t)',\,(t^2)' \big\rangle\\\\ \Longleftrightarrow\quad C'(t)=\big\langle 1,\,2t \big\rangle\qquad\checkmark$

Reescrevendo a integral de linha em função do parâmetro $t:$

    $\displaystyle\int_C xy^2\,dx+x^2y\,dy\\\\\\ =\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\\\\\\ =\int_0^2 \mathbf{F}\big(C(t)\big)\cdot C'(t)\,dt\qquad\mathrm{(i)}$

Substituindo as equações paramétricas de $C(t)$ nas coordenadas do campo vetorial $\mathbf{F},$ a integral fica

    $\displaystyle=\int_0^2 \big\langle (t)(t^2)^2,\,(t)^2(t^2)\big\rangle\cdot \langle 1,\,2t\rangle\\\\\\ =\int_0^2 \langle t\cdot t^4,\,t^2\cdot t^2\rangle \cdot \langle 1,\,2t\rangle\,dt\\\\\\ =\int_0^2 \langle t^5,\,t^4\rangle\cdot \langle 1,\,2t\rangle\,dt$

Desenvolvendo o produto escalar dos vetores,

    $\displaystyle=\int_0^2 (t^5\cdot 1+t^4\cdot 2t)\,dt\\\\\\ =\int_0^2 (t^5+2t^5)\,dt\\\\\\ =\int_0^2 3t^5\,dt\\\\\\ =\left.\left(\frac{3t^6}{6}\right)\right|_0^2$

    $=\left.\left(\dfrac{t^6}{2}\right)\right|_0^2\\\\\\ =\dfrac{2^6}{2}-\dfrac{0^6}{2}\\\\\\ =\dfrac{64}{2}-0$

    $=32\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

32

Explicação passo a passo:

corrigido