Question

dados os pontos A= (-1,3) e B=(2,-4), DETERMINE A EQUAÇÃO DA RETA.
​

Answer 1

Após ser solucionado o enunciado concluímos que:

$\Large \displaystyle \mathsf{r: 7x +3y - 2 = 0 }$

A toda reta r do plano cartesiano está associada pelo menos uma equa- ção do tipo $\textstyle \sf \sf ax + by + c= 0$números reais, com a e b não nulos simultaneamente, e x e y são as coordenadas de um ponto P ( x, y ) genérico de r.

Para todo ponto $\textstyle \sf \sf P\: (\: x, y \: )$que pertence à reta $\textstyle \sf \sf \overline{\sf AB}$, sabemos que A, B e P são colineares.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf x_A & \sf y_A & \sf 1 \\ \sf x_B & \sf y_B & \sf 1\end{array} = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x \cdot \underbrace{\sf (y_1 -y_2) }_a + y \cdot \underbrace{\sf (x_2 -x_1) }_b + \underbrace{\sf y_2x_1- x_2y_1 }_c = 0} }$

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ax +by + c = 0 } } \quad \gets \Large \text {\sf equa \sf c_{\!\!\!,} \tilde{\sf a} o geral}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf A \:( -1,3\:)\\\sf B\: (\:2,-4\:) \\\sf P\:(\: x, y\:) \gets ponto ~generico\\\sf r: ax + by + c = 0 \end{cases} } }$

Resolvendo temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf -1 & \sf 3 & \sf 1 \\ \sf 2 & \sf -4 & \sf 1\end{array} = 0 } }$

Resolvendo o determinante pelo método Sarrus, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{array}{ |r r r | r r |}\sf x & \sf y & \sf 1 & \sf x & \sf y \\ \sf -1 & \sf 3 & \sf 1 & \sf - 1 & \sf 3 \\ \sf 2 & \sf -4 & \sf 1 & \sf 2 & \sf - 4\end{array} = 0 } }$

Diagonal principal:

$\Large \displaystyle \mathsf{ D_P = 3x +2y +4 }$

Diagonal segundária:

$\Large \displaystyle \mathsf{ D_S = 6 -4x -y }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ D = D_P - D_S }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 0 = 3x +2y + 4 -(6 -4x-y) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 0 = 3x +2y + 4 - 6+4x+y }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3x +4x +2y +y +4 - 6 = 0 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r: 7x + 3y - 2 = 0 } \quad \gets \Large \text {\sf equa \sf c_{\!\!\!,} \tilde{\sf a} o geral}$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r: y = -\:\dfrac{7}{3}\:x + \dfrac{2}{3} } \quad \gets \Large \text {\sf equa \sf c_{\!\!\!,} \tilde{\sf a} o reduzida }$

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/51900125

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Answer 2

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a equação geral da reta é:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: 7x + 3y - 2 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Sejam os pontos:

                 $\Large\begin{cases} A = (-1, 3)\\B = (2, -4)\end{cases}$

Para montar a equação da reta podemos utilizar a fórmula do "ponto declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = m\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

A partir desta equação podemos entender que para montar a equação da reta utilizando a fórmula ponto declividade basta ter um ponto pertencnete à reta e a declividade da reta.

Neste problema temos dois pontos, então, temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{A} = m_{r}\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{A} = \tan \theta\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{A} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\cdot(x - x_{A})\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - y_{A} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}\cdot(x - x_{A})\end{gathered} }$

Substituindo as coordenadas dos pontos na equaação "II", temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 3 = \frac{-4 - 3}{2 - (-1)}\cdot(x - (-1))\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 3 = \frac{-4 - 3}{2 + 1}\cdot(x + 1)\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 2 = -\frac{7}{3}\cdot(x + 1)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 2 = -\frac{7}{3}x - \frac{7}{3}\end{gathered}$

Chegando neste ponto devemos saber qual deve ser a forma final da equação da reta. Como não foi especificado a forma final da reta vou deixar a reta em sua forma geral. Para isso, devemos passar todos os termos para o primeiro membro, deixando no segundo membro apenas o "0". Então, temos:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 3 = \frac{-7x - 7}{3}\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3\cdot(y - 3) = -7x - 7\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3y - 9 = -7x - 7\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 7x + 3y - 9 + 7 = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 7x + 3y - 2 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação geral da reta é:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: 7x + 3y - 2 = 0\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica representada na figura: