Question

Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da função f(x,y) = 2x + y2 sobre a curva definida pela equação γ ( t ) = ( 2 t , t 2 ) , t2 com 0≤t≤1 ​​​​​​​ ∫ 1 0 2 ( t 3 + 4 ) ( √ t 2 + 2 ) d t ∫ 1 0 2 t ( t 3 + 1 ) ( √ 4 t 2 + 2 ) d t ∫ 1 0 t ( t 3 + 4 ) ( √ 4 t 2 + 4 ) d t ∫ 2 0 t ( t 4 + 4 t ) ( √ 4 t 2 + 1 ) d t ∫ 2 0 2 t ( t 3 + 1 ) ( √ 4 t 2 + 2 ) d t

Answer 1

Resposta:  A integral de linha é $\displaystyle\int_0^1 t(t^3+4)\sqrt{4t^2+4}\,dt.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral de linha de uma função real de duas variáveis

     $\begin{array}{lccl}f:&~\mathbb{R}^2&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}\\\\ &(x,\,y)&\!\!\mapsto\!\! &f(x,\,y)=2x+y^2\end{array}$

sobre a curva $\gamma$ parametrizada conforme abaixo:

    $\begin{array}{lccl}\gamma:&~[0,\,1]&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}^2\\\\ &t&\!\!\mapsto\!\! &\gamma(t)=(2t,\,t^2)\end{array}$

Calculando o módulo do vetor tangente:

    $\|\gamma'(t)\|=\left\|\big\langle x'(t),\,y'(t)\big\rangle\right\|\\\\ \Longrightarrow\quad \|\gamma'(t)\|=\left\|\big\langle(2t)',\,(t^2)'\big\rangle\right\| \\\\ \Longleftrightarrow\quad \|\gamma'(t)\|=\|\langle 2,\,2t\rangle\|$

    $\Longleftrightarrow\quad \|\gamma'(t)\|=\sqrt{2^2+(2t)^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \|\gamma'(t)\|=\sqrt{4+4t^2},\qquad\mathrm{com~}t\in[0,\,1]$

   

Reescrevendo a integral de linha em termos do parâmetro $t,$ obtemos

    $\displaystyle\int_\gamma f(x,\,y)\,d\mathbf{r}\\\\\\ =\int_0^1 f(\gamma(t))\cdot \|\gamma'(t)\|\,dt\qquad\mathrm{(i)}$

Substituindo as coordenadas da curva $\gamma$ na lei da função $f,$ a integral fica

    $\displaystyle =\int_0^1 f(2t,\,t^2)\cdot \sqrt{4+4t^2}\,dt\\\\\\ =\int_0^1 \big(2(2t)+(t^2)^2\big)\cdot \sqrt{4+4t^2}\,dt\\\\\\ =\int_0^1 (4t+t^4)\cdot \sqrt{4+4t^2}\,dt\\\\\\ =\int t(4+t^3)\sqrt{4+4t^2}\,dt$

    $\displaystyle=\int t(t^3+4)\sqrt{4t^2+4}\,dt\quad\longleftarrow\quad \mathsf{resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

1∫0t(t3+4)(√4t2+4)dt

Explicação passo a passo:

gabarito