Question

limx→1 x-1 √x² + 8 - 3

Answer 1

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{ \sqrt{x^2+8} -3}= \frac{0}{0}$

temos q fatorar esse limite
para isso podemos multiplicar o denominador por  √(x² + 8) + 3
assim teríamos uma diferença dos quadrados: (a-b)*(a+b)=a²-b²

neste caso o (a) seria: √(x² + 8) 
e o (b) seria: 3

mas como temos q manter a igualdade se vc multiplica o denominador por algo, tbm terá que multiplicar o numerador
aplicando isso
$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{ \sqrt{x^2+8} -3} * \frac{\sqrt{x^2+8} +3}{\sqrt{x^2+8} +3} \\\\ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)*(\sqrt{x^2+8} +3)}{ (\sqrt{x^2+8} -3)*(\sqrt{x^2+8} +3)} \\\\ \text{o denominador e uma diferenca dos quadrados}\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)*(\sqrt{x^2+8} +3)}{ (\sqrt{x^2+8})^2 -(3)^2} \\\\ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)*(\sqrt{x^2+8} +3)}{ (x^2+8) -9} \\\\ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)*(\sqrt{x^2+8} +3)}{ x^2-1}$

no denominador apareceu outra diferença dos quadrados
porque 
x²-1 = x²-1² = (x-1)*(x+1)

ficando
$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)*(\sqrt{x^2+8} +3)}{ (x-1)*(x+1)}\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x^2+8} +3)}{ (x+1)} = \frac{ \sqrt{1^2+8}+3 }{1+1}= \frac{6}{2}=3$