Question

SUPERIOR. 1) Encontre a solução da equação diferencial y' = x² - y que satisfaça a condição inicial y(2) =5.

Answer 1

Resposta:   $y=x^2-2x+2+3e^{2-x}.$

Explicação passo a passo:

Resolver o problema do valor inicial (PVI) descrito pelas condições

    $\left\{\begin{array}{l}y'=x^2-y\\\\ y(2)=5 \end{array}\right.$

Primeiramente, vamos resolver a equação diferencial ordinária de 1ª ordem, não-homogênea e a coeficientes constantes:

    $y'+y=x^2$

Multiplicando ambos os lados pelo fator integrante $\mu(x)=e^x,$ a equação fica

    $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad e^x\cdot (y'+y)=e^x\cdot x^2\\\\\Longleftrightarrow\quad y'\cdot e^x+y\cdot e^x=x^2e^x\\\\\Longleftrightarrow\quad y'\cdot e^x+y\cdot (e^x)'=x^2e^x \end{array}$

Enxergamos o lado esquerdo como a derivada de um produto:

    $\begin{array}{l} \Longleftrightarrow\quad (y\cdot e^x)'=x^2e^x\\\\ \displaystyle\Longrightarrow\quad y\cdot e^x=\int x^2e^x\,dx\\\\ \displaystyle\Longleftrightarrow\quad y=e^{-x}\cdot \int x^2e^x\,dx\qquad\mathrm{(i)} \end{array}$

Calculamos a integral por partes:

    $\begin{array}{lcl} u=x^2&\quad\Longrightarrow\quad &du=2x\,dx\\\\ dv=e^x\,dx&\quad\Longleftarrow\quad &v=e^x\end{array}$

    $\begin{array}{l}\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du\\\\ \Longrightarrow\quad \displaystyle \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int e^x\cdot 2x\,dx\\\\ \Longleftrightarrow\quad \displaystyle \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx \end{array}$

Integrando por partes novamente, obtemos

    $\begin{array}{l}\displaystyle\Longleftrightarrow\quad \displaystyle \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2(x-1)e^x+C\\\\ \displaystyle\Longleftrightarrow\quad \displaystyle \int x^2e^x\,dx=(x^2-2x+2)e^x+C\qquad\mathrm{(ii)}\end{array}$

Substituindo em (i), temos

    $\begin{array}{l}\displaystyle\Longleftrightarrow\quad y=e^{-x}\cdot [(x^2-2x+2)e^x+C]\\\\ \displaystyle\Longleftrightarrow\quad y=x^2-2x+2+Ce^{-x} \end{array}$

Aplicando o valor inicial, encontramos o valor da constante $C$:

    $\begin{array}{l}y(2)=2^2-2\cdot 2+2+Ce^{-2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5=4-4+2+Ce^{-2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5=2+Ce^{-2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad Ce^{-2}=3\\\\ \Longleftrightarrow\quad C=3e^2\qquad\checkmark \end{array}$

Portanto, a solução para o PVI é

    $\begin{array}{l}\Longrightarrow\quad y=x^2-2x+2+3e^2e^{-x}\\\\ \Longleftrightarrow\quad y=x^2-2x+2+3e^{2-x}\quad\longleftarrow\quad \mathsf{resposta.} \end{array}$

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Bons estudos!