Question

Oi pessoal, preciso que alguém explique-me detalhadamente como resolver essa equação : 2/x^2 - 1 + 1/x+1 = - 1. Obrigado pela atenção...

Answer 1

Comecemos multiplicando ambos os lados da equação pelo mínimo múltiplo comum aos denominadores.

Sabemos que:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)\;\;\Rightarrow\;\; x^2-1=(x+1)(x-1)$

Portanto:

$\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2}{(x+1)(x-1)}+\frac{1}{x+1}$

Logo, o mmc é $(x+1)(x-1)=x^2-1$

• Caso você não tivesse conhecimento da fatoração de uma diferença de quadrados, não tem problema. Não necessariamente você precisa multiplicar a equação pelo mmc, é somente o jeito que te dará a resposta mais simplificada. Você poderia multiplicar a equação por  $(x^2-1)(x+1)$

$\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}=-1\\\\(x^2-1)(\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1})=-1(x^2-1)\\\\\frac{2(x^2-1)}{x^2-1}+\frac{x^2-1}{x+1}=1-x^2\\\\2+\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=1-x^2\\\\2+x-1=1-x^2\\\\x^2+x=0\\\\x(x+1)=0$

Temos um produto que resulta em 0. Isso só é possível se algum dos fatores for nulo. Logo:

1. $x=0$
2. $x+1=0\;\;\Rightarrow\;\;x=-1$

Devemos tomar muito cuidado agora, poderiamos de modo precipitado dizer que as resposta são x=0 e x=-1, porém temos termos com x nos denominadores da equação original, e devemos nos certificar de que nenhuma das possíveis respostas anule os denominadores originais

Para x = 0

$\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}=-1\\\\\frac{2}{0-1}+\frac{1}{0+1}=-1\\\\-2+1=-1\\\\-1=-1$

Para x = -1

$\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}=-1\\\\\frac{2}{(-1)^2-1}+\frac{1}{-1+1}=-1$

Impossível. Perceba que ambos os denominadores se anulam.

Portanto, a resposta final é x = 0 ou S = {0}