Question

Sejam as funções f e g, tais que f(x) = x²+x-1 e g(x) = 2x² + x - 2. Para quais valores de x temos f(x) > g(x)?
a) -1 < x < 2
b) -1 < x < 1
c) x > 0
d) x < 0
e) x < -1 e x > 1

Answer 1

Resposta:   e) x < -1 ou x > 1.

Explicação passo a passo:

Dadas as funções

     $f(x)=x^2+x-1\\\\ g(x)=2x^2+x-2$

resolver a inequação $f(x)<g(x).$

     $\begin{array}{l} f(x)<g(x)\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x)-g(x)<0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+x-1-(2x^2+x-2)<0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+x-1-2x^2-x+2<0\end{array}$

Agrupando os termos semelhantes,

     $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad x^2-2x^2+\diagup\!\!\!\! x-\diagup\!\!\!\! x-1+2<0\\\\ \Longleftrightarrow\quad -x^2+1<0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2>1\end{array}$

A desigualdade acima envolve apenas termos não-negativos. Portanto ela se mantém para as raízes quadradas dos termos:

     $\Longleftrightarrow\quad \sqrt{x^2}>\sqrt{1}$

Atenção! $\sqrt{x^2}=|x|$ (módulo de $x$), para todo $x\in\mathbb{R}.$ Logo, a inequação fica

     $\Longleftrightarrow\quad |x|>1$

O módulo é maior que 1 para todos os números que são menores que -1 ou maiores que 1:

     $\Longleftrightarrow\quad x<-1\quad\mathrm{ou}\quad x>1\qquad\checkmark$

Resposta:  alternativa e) x < -1 ou x > 1.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)